Эллипс
. (2)
При
эллипс (2) обращается в окружность радиуса
с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии
.
Пусть
. Положим
. Отметим на оси
точки
,
, имеющие абсциссы
и
. Это фокусы эллипса. Эллипс (2) можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов
,
есть величина постоянная, равная
.
В самом деле (рис. 37),

откуда

и

откуда следует уравнение (2). Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то получим, что если точка
удовлетворяет уравнению (2), то сумма ее расстояний до
и
равна
.
Если в уравнении (2) заменить
на
, то оно не изменится – это показывает, что эллипс (2) есть кривая, симметричная относительно оси
. Аналогично эллипс (2) симметричен относительно оси
, потому что его уравнение не изменяется при замене
на
. Но тогда достаточно изучить его уравнение в первой четверти (системы координат), т. е. для
. Часть эллипса, находящаяся в первой четверти, определяется уравнением
.
Из этого уравнения видим, что наш эллипс проходит через точки
и
. При этом его ордината
при непрерывном возрастании
на отрезке
непрерывно убывает.
Эллипс - ограниченная кривая. Он находится внутри круга радиуса
с центром в начале координат (для координат любой точки эллипса
имеет место неравенство
.
Из рис.37 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. В первой четверти это выпуклая вверх кривая. В любой ее точке можно провести касательную. Все эти свойства и многие другие могут быть с успехом изучены методами математического анализа, который к тому же дает средства для точного определения высказанных выше понятий - непрерывность, выпуклость и т. д.

Рис. 37
Уравнение эллипса можно записать еще в параметрической форме
(3)
В самом деле

т. e. точка
, определяемая равенствами (3) при любом
принадлежит эллипсу (2). Если
непрерывно пробегает полуинтервал
, то точка
описывает полный эллипс. При дальнейшем возрастании
движение периодически повторяется.
Выясним смысл параметра
и попутно укажем способ построения эллипса (рис. 38). Проведем две концентрических окружности радиусов
и
с центром в точке
.

Рис.38
Затем проведем радиус-вектор под углом
к оси
и обозначим его точки пересечения с окружностями радиуса
и
соответственно
и
. Из точки
проведем прямую, параллельную оси
, а из точки
- прямую, параллельную оси
. Точка пересечения этих прямых
принадлежит эллипсу. В самом деле, пусть
- абсцисса точки
, а
- ордината этой точки. Тогда (см. рис. 38)

т.е. точка
действительно находится на эллипсе (3) и параметр
есть угол между осью
и лучом
. Отметим, что
не является полярным углом
, который образует радиус-вектор
с осью
(
). Например, если
,
,
, то
; если
, то
; если
,то
.