Гипербола
. (4)
Положим
и отметим на оси
точки
и
— фокусы гиперболы (4), имеющие абсциссы
и
(рис.39).

Рис.39
Гипербола (4) может быть определена также как геометрическое место точек
, разность расстояний которых до фокусов
и
есть величина постоянная равная
.
Имеем (см. рис. 39)

откуда следует уравнение (4).
Мы получили правую ветвь гиперболы (см. рис. 39). Чтобы получить левую ветвь, надо исходить из равенства
.
Рассуждениями, проведенными в обратном порядке, можно заключить, отправляясь от уравнения (4), что точки
ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному выше геометрическому месту.
По виду уравнения (4) заключаем, что гипербола (4) симметрична относительно оси
и оси
. Часть гиперболы (4), находящаяся в первой четверти, имеет уравнение
. (5)
Мы видим, что наша гипербола проходит через точку
и при возрастании
на полуинтервале
ордината
возрастает и стремится к бесконечности. Точки
и
, в которых гипербола пересекает ось
, называются вершинами гиперболы.
На рис. 39 нарисованы две прямые:
.
Это асимптоты нашей гиперболы.
Пусть на полуинтервале
(или
) задана кривая
. Говорят, что прямая
есть асимптота этой кривой при
, если

(соответственно
).
Рассмотрим кусок нашей гиперболы, определяемый равенством (5), и сравним его с прямой
. Предел
.
Это показывает, что прямая
есть асимптота рассматриваемого куска гиперболы при
. Но тогда говорят, что прямая
есть асимптота (всей!) гиперболы при
. В силу симметрии нашей гиперболы относительно осей, так же как симметрии пары прямых
относительно осей, можно сказать, что обе эти прямые являются асимптотами нашей гиперболы и притом как при
, так и при
.
Правая ветвь гиперболы (4) может быть записана в параметрическом виде
(6)
В самом деле, так как
, (7)
то из уравнений (6) получим
.
Верхняя половина правой ветви гиперболы соответствует изменению
, а нижняя – изменению
.
Выясним, как параметр
связан с параметром
в параметрическом уравнении эллипса, и попутно укажем способ построения гиперболы с помощью циркуля и линейки. Так как наш способ построения гиперболы будет основан на способе построения эллипса, то мы изложим эти два способа построения совместно (рис. 40). Ограничимся построением частей эллипса (2) и гиперболы (6), находящихся в первой четверти. Проведем две концентрические окружности радиуса
и
с центром в начале координат. Проведем луч, выходящий из начала координат под углом
к оси
. Пусть
и
- точки пересечения этого луча с указанными окружностями
. Проводя из точек
и
, прямые, параллельные осям
и
, получим точку их пересечения
, принадлежащую эллипсу (2). Затем проводим луч
. Пусть
- точка пересечения этого луча с окружностью радиуса
;
- точка пересечения этого луча с прямой, параллельной оси
и проходящей через точку эллипса
. Уравнение луча
можно записать:
.

Рис.40
Отсюда следует, что ордината точки
равна
. Далее соединим точку
с точкой
и из точки
проведем прямую, параллельную
, которая пересечет луч
в точке
.
Из подобия треугольников
и
получим, что
. Радиусом
на оси
отмечаем точку
.
Теперь из точек
и
проводим прямые, параллельные осям
и
соответственно. Точка пересечения этих прямых
, где
принадлежит гиперболе (4).
В самом деле, так как точка
лежит на эллипсе (2), то
,
т. е. точка
, принадлежит гиперболе (4).
Отметим, что точка
является точкой пересечения касательной к эллипсу в точке
с осью
.
Таким образом, каждой точке
эллипса (2) соответствует вполне определенная точка
гиперболы (4) и обратно.
Теперь, если эллипс (2) задан параметрически, то
.
Поэтому
.
Отсюда, учитывая (6), получаем
.
Имеют место также следующие формулы:

т.е.
