24.3 Классификация кривых второго порядка
Ниже будет доказано, что существует прямоугольная система координат такая, что в ней кривая (1), если она не мнимая, имеет одно из перечисленных выше уравнений 1) - 6).
Более детально:
при
кривая (1) есть эллипс, точка (случаи 1), 6)) или мнимая кривая;
при
кривая (1) есть гипербола или пара пересекающихся (разных) прямых (случаи 2), 4));
при
кривая (1) есть парабола, пара параллельных или совпадающих прямых или мнимая кривая (случаи 3), 5)).
Мы позволяем себе говорить «кривая» даже и в случаях 4), 5), 6), когда речь идет о паре прямых или множестве, состоящем из одной точки.
Итак, пусть задано уравнение
, (1)
где коэффициенты
,
,
одновременно не равны нулю.
Не нарушая общности, можно считать, что
. К этой ситуации всегда можно прийти с помощью ортогональных преобразований:

и умножения левой и правой частей (1) на -1.
Если
, то (1) можно записать в виде
. (11)
Параллельный перенос

преобразует уравнение (11) следующим образом:
. (11')
Если число
, то уравнение (11') представляет собой уравнение эллипса (случай 1)) с полуосями
,
, где
.
Отметим, что в данном случае
.
Если же правая часть уравнения (11') равна нулю, то мы получаем точку (случай 6)).
При отрицательной правой части уравнение (11') дает мнимую кривую.
Если число
, то (1) можно записать в виде
. (12)
Пусть число
, тогда параллельный перенос

преобразует уравнение (12) в уравнение
, (12')
которое (после замены, если нужно,
на
) представляет собой уравнение параболы (случай 3)).
Если
, то в зависимости от знака числа
, мы получим пару параллельных прямых или мнимую кривую. Отметим, что здесь
.
Далее, если число
, то уравнение (1) можно записать:
, (13)
анализ которого проводится так же, как в случае уравнения (11). Уравнение (13) дает гиперболу или пару пересекающихся прямых (случаи 2) и 4)). Отметим, что в данном случае
.
Случай
сводится к уравнению типа (12).
Итак, при
уравнение (1) всегда дает один из частных случаев 1)-6).
Пусть теперь
. Тогда, как мы знаем (см. § 23), существует ортогональное преобразование
, (14)
где

которое приводит квадратичную форму

к каноническому виду.
Преобразуем уравнение (1) с помощью (14):
, (15)
где

. Перепишем уравнение (15) в виде
. (15')
Уравнение (15') является частным случаем уравнения (1) при
, которое мы уже исследовали.
Таким образом, мы можем сказать, что если:
1)
, то уравнение (1) представляет собой эллипс, точку или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу;
2)
, то уравнение (1) представляет собой гиперболу или пару пересекающихся прямых. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу;
3)
, то уравнение (1) изображает параболу, пару параллельных прямых или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит параболическому типу.
Пример 1. Выяснить характер кривой
,
где
- произвольное действительное число.
В данном случае
, т. е. уравнение принадлежит эллиптическому типу. Легко подсчитать (см. пример в § 23), что
.
Поэтому с помощью ортогонального преобразования

наше уравнение запишется

или
.
Осуществим еще параллельный перенос

тогда будем иметь
. (16)
Если
, то (16) будет уравнением эллипса с полуосями
, где
.
Если
, то (16) дает точку. Если
, то (16) представляет мнимую кривую.