§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве
Уравнение
, (1)
где
- заданные постоянные числа, а
- переменная точка в
, определяет, вообще говоря, некоторое множество точек в
, называемое поверхностью второго порядка. Если уравнение (1) не удовлетворяется ни одной действительной точкой
, то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. Нас эти случаи не будут интересовать. В некоторых случаях уравнение (1) может определять пару различных или совпадающих плоскостей или одну-единственную точку. Но и такие множества мы будем называть поверхностями.
Перечислим важнейшие частные случаи уравнения (1):
1) Эллипсоид
.
2) Однополостный гиперболоид
.
3) Двуполостный гиперболоид
.
4) Эллиптический параболоид
.
5) Гиперболический параболоид
.
6) Конус второго порядка
.
7) Точка
.
8) Цилиндры второго порядка:
цилиндр эллиптический
,
цилиндр гиперболический
,
цилиндр параболический
,
пара пересекающихся плоскостей
,
пара параллельных или совпадающих плоскостей

прямая
.
При рассмотрении частных случаев уравнения (1) мы считали, что
.
Можно доказать, что для каждого частного уравнения (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из перечисленных выше восьми видов. Это следует из общей теории § 22. Само преобразование уравнения (1) производится так же, как в § 24. Нахождение собственных значений
сводится к решению кубического уравнения.
Укажем еще один путь нахождения собственных чисел и собственных векторов, который мы по сути дела уже рассмотрели в § 23 в двумерном случае. Собственные значения
самосопряженного оператора
и принадлежащие им нормированные векторы
можно находить следующим образом (обоснование см. ниже). Вводим определитель
:

где
— единичная матрица. Находим корни
уравнения
, (2)
которое называется характеристическим уравнением оператора
. Это и есть собственные числа оператора
. Они действительные, причем они могут быть разными, но могут и совпадать - быть кратными. Таким образом,
.
Затем для корня
ищем нетривиальное решение
однородной системы уравнений:
(3)
или соответствующего уравнения для оператора
:
, (3')
где
- единичная матрица и векторы
.
Если
- простой корень (т. е. в данном случае
, отлично от
и от
, то ранг матрицы системы (3) необходимо будет равен двум (ранг
), и мы получим единственный, с точностью до знака, вектор
, удовлетворяющий системе (3), т. е.

или
.
Если
- корень второй кратности
, то система (3) необходимо имеет ранг, равный единице (ранг
), и будет иметь два ортонормированных решения
и
, которые являются собственными векторами, принадлежащими собственному значению
:
.
Наконец, если
- корень третьей кратности
, то система (3) необходимо имеет ранг, равный нулю (ранг
), и будет иметь три ортонормированных решения
:
.
Любые три ортонормированных вектора в
могут быть взяты в качестве собственных векторов
, принадлежащих собственным числам
.
Обоснуем сказанное. Мы знаем, что в
существует система ортонормированных векторов
и действительные числа
, такие, что
.
При этом можно указать ортогональную матрицу
такую, что (см. § 22)
.
Отсюда для переменного числа
имеет место тождество
(4)
.
Определитель матрицы
мы обозначили выше через
. Он, как это видно из (4), равен определителю матрицы, стоящей в правой части (4), так как
.
Таким образом,
.
Мы получили, что корни многочлена
совпадают с собственными значениями
оператора
. Они, таким образом, действительны.
Пусть
- простой корень и, следовательно,
и
. Тогда матрица справа в (4) при
имеет ранг, равный двум (ранг
), но тогда ранг
. Ведь решения однородной системы (3) и системы
(5)
соответствующей матрице (4), преобразуются друг в друга при помощи ортогональной матрицы (системы (3) и (5) эквивалентны). Система же (5) имеет только одно (с точностью до знака) нормированное решение (±1, 0, 0). Но это возможно, лишь если ранг
.
Можно дать и такое объяснение этого факта. Если предположить, что все определители второго порядка, порожденные матрицей
, равны нулю, то тогда и все определители второго порядка, порожденные матрицей
, также будут равны нулю, так как эти определители являются линейными комбинациями определителей второго порядка из матрицы
. Но этого не может быть, ибо определитель, порожденный матрицей
,
.
Если теперь
, то, рассуждая аналогично, получим, что ранг
, и тогда существует в точности два ортонормированных решения
системы (3), соответствующих
.
Наконец, при
будет ранг
, т. е. все элементы матрицы
равны нулю. В этом случае любой вектор
является решением системы (3). Это приводит к тому, что любые три вектора
, образующие ортонормированную систему, будут собственными векторами, принадлежащими собственному значению
.
Заметим, что в этой ситуации квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов
.
Пример 1, Привести к каноническому виду квадратичную форму
.
Здесь
,
. Составим характеристическое уравнение:

или
,
.
Легко видеть, что
является корнем этого уравнения. Найдем два других корня:
,
,
,
.
Таким образом,
,
,
,
т. е. мы получили случай:
.
Найдем собственный вектор
. Для этого составим систему (3):

Любые два уравнения этой системы линейно независимы. Решая систему из двух первых уравнений, получаем
, 
.
Таким образом, вектор

является решением системы и, нормируя его, получим собственный вектор
.
Найдем
:

Решая систему из двух последних уравнений (так как определитель из коэффициентов при
и
не равен нулю), получим
,
.
Вектор
является решением системы, а вектор

- собственный единичный вектор. Легко видеть, что он ортогонален
(скалярное произведение этих векторов равно кулю). Наконец, при
находим, что

- третий собственный вектор.
Ортогональная матрица перехода от координат вектора
в системе
к координатам вектора
в системе
имеет вид ( см. § 17, (15))
,
(6)
Данное преобразование сохраняет ориентацию (так как
), т. е. система
ориентирована так же, как исходная система
.
Подставляя в нашу квадратичную форму вместо
их значения по формулам (6), получим ее канонический вид
.
Остановимся теперь лишь на более подробном изучении уравнений и описываемых ими поверхностей, указанных выше восьми типов.