27.2. Плоскость в Rn.

Зададим  действительных чисел , одновременно не равных нулю, т. е. таких, что выполняется неравенство

.

Зададим также действительное число .

По определению геометрическое место точек  удовлетворяющих уравнению

,                                                               (1)

называется плоскостью, а уравнение (1) называется уравнением этой плоскости.

Будем еще говорить: плоскость (1) вместо того, чтобы говорить: плоскость, определяемая уравнением (1).

При  плоскость (1) есть реальная плоскость.

Если умножить уравнение (1) на произвольное число , то получим уравнение

,                 (1')

эквивалентное уравнению (1).

Таким образом, уравнения (1) и (1') определяют одно и то же геометрическое место точек. Учтем еще, что

.

Но тогда уравнения (1) и (1') суть уравнения одной и той же плоскости.

Систему чисел  удобно мыслить как вектор

.

Этот вектор заведомо ненулевой, потому что его длина положительна:

.

Как мы отмечали выше, буквы  обозначают не только точки пространства

, но и радиус-векторы точек . Но тогда левую часть уравнения (1) можно записать как скалярное произведение векторов  и :

,

а само уравнение (1) записать в виде

.

 Эквивалентное же ему уравнение (1') запишется в виде

                                                            (2')

где .

Таким образом,  есть вектор, коллинеарный вектору , т. е.  получается из вектора  умножением его на число . Число  тоже получается из числа  умножением последнего на это же число .