27.3. Уравнение плоскости в нормальном виде.

Среди векторов  особый интерес представляет единичный вектор, т. е. вектор, имеющий длину 1.

Чтобы получить его, множитель  надо подобрать так, чтобы оказалось, что .

Отсюда ясно, что

.

Будем число  всегда выбирать так, чтобы при  число  было положительным. Если , то за число  можно брать любое из двух возможных его значений.

При таком выборе числа  вектор  будет единичным, и мы его обозначим через  т.е.

.

В силу введенных обозначений уравнение (2') запишется:

,                                                       (3)

где

.

Уравнение (3), где числа  и  удовлетворяют условиям (4), называется уравнением плоскости в  в нормальном виде.

Уравнение (1), где  - произвольные числа, но числа  одновременно не равны нулю, называется уравнением плоскости в  в общем виде.

Мы доказали, что любое уравнение плоскости в общем виде может быть приведено к нормальному виду умножением на определенное выше число . Число  называется нормирующим множителем.

Очевидно и обратное, если умножить уравнение плоскости (3) в нормальном виде на произвольное не равное нулю число, то получим ему эквивалентное уравнение вида (1), где числа  одновременно не равны нулю.