27.9. Прямая в пространстве Rn.
Уравнения прямой в пространстве
можно вывести по аналогии с трехмерным пространством
(см. § 10).
Прямой
в
, проходящей через точку
и направленной в сторону вектора
, называется геометрическое место точек
, удовлетворяющих уравнениям
(19)
где
- переменная, пробегающая интервал
. Удобно считать, что вектор
приложен к точке
.
Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой
.
Если ввести в рассмотрение радиус-векторы точек
и
прямой
:
,
,
то уравнение (19) запишутся:
, (19')
т.е. вектор
коллинеарен вектору
.
Если действительная переменная (скаляр)
пробегает интервал
, то конец радиус-вектора

пробегает всю прямую
.
Уравнение (19’) называется уравнением прямой в векторной форме.
Исходя из (19'), мы видим, что вектор
лежит на прямой
, потому что его начало
имеет радиус-вектор
, а конец -
. Оба эти вектора удовлетворяют уравнению (19') соответственно при
и
(см. § 7).
Если исключить параметр
из уравнений (19), то мы получим систему из
уравнений:
. (19'')
Уравнение (19'') называются уравнениями прямой
в канонической форме или каноническом виде.
Пусть заданы прямые
.
,
.
.
Угол между прямыми
и
называется угол
между векторами
,
которые, как мы показали, лежат на соответствующих прямых
и
, Они приложены соответственно к точкам
.
Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
и перпендикулярно прямой, определяемой уравнениями
. (20)
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку
, имеет вид (см.(18))
. (21)
Искомая плоскость должна быть ортогональной прямой (20), т. е. ортогональной вектору
.
С другой стороны, вектор
ортогонален плоскости (21). Поэтому векторы
и
коллинеарны;
. Следовательно, уравнение искомой плоскости запишется:
.