27.10. Расположение n-1 плоскостей.
Пусть заданы уравнения
плоскостей
(
)
(
)
Если коэффициенты первого уравнения пропорциональны коэффициентам второго
, то плоскости параллельны (см. 27.7).
Если указанная пропорциональность имеет место и для коэффициентов других уравнений, то все плоскости буду параллельны между собой. В этом случае все определители
-го порядка, порожденные матрицей
коэффициентов
уравнений (
) – (
), равны нулю.
Если хотя бы один из определителей
-го порядка матрицы
не равен нулю, то плоскости (
) – (
) пересекаются по прямой. В самом деле, пусть для определенности
. (23)
Тогда уравнение (
) – (
) можно решить относительно
и мы получаем
(24)
где
- некоторые числа.
Уравнения (24) эквивалентны следующим уравнениям:
. (25)
Мы видим, что при условии (23) уравнения
плоскостей (
) – (
) определяют прямую (25). Она проходит через точку
и имеет направление вектора
.
Пример 2. Найти угол между прямыми
,
,
Решение. Векторы
,
лежат на наших прямых, расположенных в четырехмерном пространстве
. Поэтому угол
между этими векторами и будет углом между прямыми:
,
.