27.11. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть задана плоскость
, определяемая общим уравнением
, (26)
или векторным уравнением
, (27)
или же нормальным уравнением
, (28)
где
,
- радиус-вектор текущей точки
плоскости
,
,
.
Зададим некоторую точку
. Радиус-вектор точки
обозначим через
.
Расстоянием от точки
до плоскости
называется длиной
отрезка, опущенного из нее на
.
Покажем, что
, (29)
т.е. расстояние
до
равно абсолютной величине проекции вектора
на направление единичного вектора
(ортогонального к
).
На рисунках 53 а и 53 б изображена плоскость
и точка
. На рис. 53 а точки
и
находятся по разные стороны от
(
пересекает
). А на рис. 53 б – по одну сторону от
(
не пересекает
).

Рис. 53
Через точку (
проведена плоскость
, параллельная
. Из точки
проведена прямая, перпендикулярная к
(и
), пересекающая
и
, соответственно в точках
и
. На ней отмечен единичный вектор
, идущий от точки
по направлению к
.
Обратимся к рис. 53 а. Векторы
образуют острый угол. Проекция
на направление
есть положительное число, равное длине отрезка
, которая в свою очередь равна расстоянию от
до
:
.
На рис. 53 б
образует острый угол с
и на этот раз расстояние от
до
равно
.
Оба полученные равенства объединяются равенством (29) или, что все равно, равенством:
.
Таким образом, для того чтобы вычислить расстояние
от точки
до плоскости
, надо записать уравнение плоскости
в нормальном виде (28), перенести
в левую часть и подставить в последнюю
вместо
. Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число
.
На языке параметров плоскости, очевидно
.
Пример 3. Найти расстояние
от точки

пространства
до плоскости
.
Решение. Согласно сказанному выше
.