§ 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне
Рассмотрим тонкий изолированный (покрытый тепловой изоляцией) стержень, лежащий на отрезке
оси
(рис. 124). Предполагается, что его физические свойства в точках любого его сечения одинаковы. Температура стержня есть функция

от абсциссы
сечения и времени
.
На основании сказанного в § 5.1 функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных
, (1)
где
- константа, если предположить, что теплоемкость и теплопроводность стержня не зависят от
.

Рис. 124
Поставим задачу: найти функцию
, непрерывную для
, имеющую непрерывные частные производные
и
для
, удовлетворяющую дифференциальному уравнению (1) для
, и следующим условиям:
1) начальному условию
, (2)
где
- заданная на отрезке
непрерывная функция;
2) граничным условиям
. (3)
Таким образом, предполагается, что в начальный момент времени
температура в стержне выражается функцией
(см. (2)), а на протяжении всего времени опыта на концах стержня искусственно поддерживается температура нуль (см. (3)).
Уравнение (1) будем решать методом Фурье разделения переменных. Суть его заключается в том, что мы отыскиваем частные решения уравнения (1), удовлетворяющие пока только краевым условиям (3), в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного переменного:
. (4)
При этом мы ищем нетривиальные решения, т. е. тождественно не равные нулю. Из (4) имеем
.
Подставляя эти выражения в (1), получаем
. (5)
В (5) левая часть не зависит от
, а правая – от
, поэтому
, (6)
где
- некоторая постоянная.
Таким образом, функция
и
удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям
, (7)
, (8)
где
- некоторая постоянная.
Так как мы ищем решения, удовлетворяющие условиям (3), то при всех
должны выполняться равенства
.
Если предположить, что
, то
для всех
и
. Поэтому имеется хотя бы одно
, для которого
. Но тогда
. (9)
Мы пришли к следующей задаче. Требуется найти такие числа
, для которых дифференциальное уравнение (7) имеет нетривиальное (не равное тождественно нулю) решение на отрезке
, удовлетворяющее граничным условиям (9).
Задача эта называется проблемой Штурма-Лиувилля для уравнения (7) на отрезке
при граничных условиях (9). Искомые числа
называются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующие нетривиальные функция, удовлетворяющие граничным условиям (9), называются собственными функциями, соответствующими этим значениям.
Будем искать решение поставленной задачи среди положительных чисел
. В этом случае числа
являются корнями характеристического уравнения, поэтому общее решение уравнения (7) запишется так:
.
Из (9) находим
или 
Чтобы получить решение, тождественно не равное нулю, нужно считать
и
. Последнее возможно только при натуральных
.Каждому
соответствует решение
,
удовлетворяющее, очевидно, граничным условиям (9). Это нетривиальное (тождественно не равное нулю) решение уравнения (7). Итак, числа

суть собственные значения поставленной выше краевой задачи (проблемы Штурма-Лиувидля), а функции

при любом
- соответствующие этим значениям собственные функции.
Мы нашли все собственные значения и собственные функции поставленной задачи Штурма-Лиувилля, потому что при любом
дифференциальное уравнение (7) имеет только тривиальное (тождественно равное нулю) решение, удовлетворяющее условиям
.
В самом деле, при
общее решение уравнения (7) имеет вид
. Найдем постоянные
и
из условия (9):

Определитель данной системы
,
поэтому система имеет только тривиальное решение
. Таким образом, частного решения уравнения (7), тождественно не равного нулю и удовлетворяющего условиям (9), не существует при
.
Если
, то характеристическое уравнение имеет число нуль кратным корнем, поэтому общее решение (7) запишется
.
Учитывая краевые условия, получаем
, откуда
и
.
Остается решить уравнение (8) при найденных
:
,
где
- произвольная постоянная.
Итак,
(10)
- суть частные решения уравнения (1), удовлетворяющие краевым условиям (3).
Легко видеть, что конечная сумма
,
где
- произвольные постоянные, в свою очередь представляют собой решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям
. Но тогда и сумма бесконечного ряда
(11)
при достаточно малых коэффициентах
будет удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям
.
Теперь мы подбираем числа
так, чтобы выполнялось равенство
. (12)
Числа
подбираются единственным образом - именно по формуле
,
т. е. они должны быть коэффициентами Фурье функции
(см. § 4.3).
Если функция
непрерывка на
, то ряд (12) сходится к ней в смысле среднего квадратического на
(см. теорему 2 § 4.10).
Если окажется, что ряд

сходится, то вследствие неравенств
, (13)
ряд (11) равномерно сходится и его сумма есть непрерывная функция для
.
При
ряд (11) сходится очень быстро - его можно дифференцировать почленно сколько угодно раз. В частности,
(14)
откуда видно, что
.
Законность равенств (14), т. е. почленной дифференцируемости ряда (11) при
, может быть прослежена следующим образом. Если задано
, то возьмем
так, чтобы
. Тогда, например, в случае первого ряда (14), считая, что
, будем иметь
.
Но ряд из положительных (постоянных!) чисел

сходится (что можно проверить по признаку Даламбера или Коши), а это вместе с оценкой (13) показывает, что в дифференцирование два раза по
произведено законно.
Замечание. Выше мы получили, что задача Штурма-Лиувилля
,
(15)
имеет собственные значения
,
,
, …,
, … . (16)
Они положительны и им соответствуют собственные функции
,
,
, …,
, …, (17)
образующие ортогональную систему на отрезке
:
.
Из теории тригонометрических рядов известно, что система (17) полна в
(см. теорему 2 § 4.10), т. е. ряд Фурье произвольной кусочно-непрерывной на отрезке
функции по этой системе сходится к ней в смысле среднего квадратического.
Некоторые сведения, обобщающие эти факты, читатель может найти далее в § 5.10.