§ 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости
Пусть в полуплоскости
требуется найти ограниченное решение уравнения Лапласа
, (1)
удовлетворяющее граничному условию
. (2)
Легко проверить, что функции

при любом фиксированном
являются ограниченными гармоническими на
, т. е. удовлетворяют на
уравнению (1). Но тогда сумма таких функций и даже интеграл по параметру также будет решением уравнения (1):
, (3)
лишь бы было законно дифференцирование под знаком интеграла по параметрам
и
. Функции
и
найдем из условия (2)
. (4)
Запишем разложение функции
в интеграл Фурье
. (5)
Сравнивая формулы (4) и (5), мы видим, что
. (6)
Подставляя эти функции в (3), получаем

Согласно § 4.14 пример 4) имеем
. (3')
Замечание 1. Пусть функция
имеет непрерывные производные до четвертого порядка включительно и удовлетворяет условиям

Тогда из (6) следуют оценки
(7)
где
- некоторая постоянная. В самом деле, если
, то
. (8)
Если же
, то, интегрируя по частям четыре раза, получим

откуда
(9)
Из (8) и (9) следует первое неравенство (7). Второе неравенство (7) доказывается аналогично.
Оценки (7) обеспечивают существование, непрерывность и ограниченность функций
в верхней полуплоскости
.
Замечание 2. Можно доказать, что если функция
непрерывна и ограничена на
, то полученное при помощи формулы (3') решение задачи Дирихле для верхней полуплоскости единственно в классе ограниченных функций.