§ 5.3. Задача Дирихле для кругаТеорема 1. Пусть
В полярных координатах
где - коэффициенты Фурье функции Мы докажем теорему 1 в предположении, что функция Разложим функцию
Так как
где константа
и так как ряд сходится, то по теореме Вейерштрасса ряд (2) равномерно сходится на
т. е. выполняется свойство (1). Каждый член ряда (2) удовлетворяет уравнению Лапласа в полярных координатах (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.9, пример 3). Кроме того, имеют место равенства
Почленное дифференцирование ряда (2) законно, потому что для любого положительного
а ряд сходится. Поэтому сумма ряда (2) Тот факт, что решение задачи Дирихле является единственным, мы доказывать не будем.
|