§ 5.2. Задача Дирихле
Распределение тепла в теле называется стационарным, если температура
тела зависит от положения точки
, но не зависит от времени
, т. е.
.
В этом случае

и функция
удовлетворяет уравнению
.
Определение. Функция
называется гармонической на области
, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка на
и удовлетворяет на
уравнению
. (1)
Уравнение (1) называется уравнением Лапласа. Справедлива
Теорема 1. Пусть ограниченная область
пространства имеет кусочно-гладкую границу (поверхность)
, на которой задана непрерывная функция
. Тогда существует на замыкании
единственная непрерывная функция
, гармоническая на
, такая, что
.
Теорема 1 имеет очевидную физическую интерпретацию. Если на границе
тела
все время поддерживать температуру
, равную
, где
- заданная непрерывная на
функция, то внутри тела установится вполне определенная (единственная) температура
. Это утверждение с физической точки зрения надо считать очевидным. Но оно может быть доказано и математически. Эта задача, называемая задачей Дирихле, исследована очень хорошо, при этом даются различные приближенные методы ее решения.
Задача Дирихле имеет большое практическое применение и в плоском случае. В плоском случае она формулируется так.
На кусочно-гладкой границе
плоской области
задана непрерывная функция
. Требуется найти функцию
, непрерывную на
и гармоническую на
, т. е. имеющую вторые непрерывные частные производные и удовлетворяющую уравнению Лапласа на
:
.
Эта задача решается положительно: на
существует и притом единственная функция
, удовлетворяющая требованиям этой задачи.
Особенно важны те случаи, когда задача Дирихле решается эффективно.
Ниже мы даем эффективное решение задачи Дирихле для круга.