Глава 5 Уравнения математической физики
§ 5.1. Температура тела
Рассмотрим физическое тело
. Температуру его в точке
в момент времени
обозначим через
.
Покажем, что функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению
(1)
или, если воспользоваться обозначением
,
уравнению
, (1')
которое называется уравнением теплопроводности. Оно является примером линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка.
Рассмотрим элементарный кубик
в теле
(рис. 123). Количество тепла, проходящее через левую грань
справа налево за промежуток времени
, равно с точностью до бесконечно малых высшего порядка
.

Рис. 123
Здесь
- коэффициент теплопроводности тела, который мы считаем постоянным в любой его точке. Дело в том, что указанное количество тепла, очевидно, пропорционально числу
, площади
рассматриваемой грани, приращению времени
и скорости изменения температуры в направлении оси
, равной частной производной
. Частная производная меняется в пределах грани, но пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, можно считать, что она всюду на этой грани равна
в точке
.
Количество тепла, проходящее через правую грань
справа налево, очевидно, равно
.
Количество же тепла, вошедшее в куб
через левую и правую его грани за указанный промежуток времени, равно
.
Общее количество тепла, вошедшее в
за время
, очевидно, равно сумме количеств тепла, вошедших за это время через все грани
:
, (2)
Но это число (количество тепла) равно также
, (3)
где
- удельная теплоемкость тела, которую мы считаем постоянной во всех его точках.
Приравнивая величины (2), (3), после сокращений получим дифференциальное уравнение (1), где
.
Итак, мы показали, что температура тела
есть функция и
, удовлетворяющая уравнению (1), где
- положительная константа, физический смысл которой был выяснен выше. Впрочем, мы ограничились тем случаем, когда во всех точках тело имеет постоянную удельную теплоемкость и постоянный коэффициент теплопроводности.
Дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти среди них определенное решение, надо наложить на функцию и дополнительные условия. Обычно это так называемые начальные и граничные условия.
Ниже мы рассмотрим несколько математических задач, связанных с этим вопросом.