§ 5.9. Колебание круглой мембраны
Пусть круглая мембрана радиуса 1 в состоянии покоя занимает круг радиуса 1 с центром в начале полярной системы координат
,
(рис. 126). Будем считать, что мембрана закреплена по окружности
. Если теперь подействовать на мембрану некоторой силой, то отклонение точек мембраны
будет функцией координат
,
и времени
:
.
Так же как и в § 5.7, можно получить уравнение колебаний мембраны
. (1)
Для уравнения (1) мы будем решать задачу с краевым условием
(2)
и начальными условиями
. (3)
Мы рассматриваем, таким образом, осесимметрическое колебание мембраны, при котором все точки окружности радиуса
с центром в начале координат в начальный момент времени имеют скорости и отклонения, не зависящие от угла
. Таким образом, и функция
будет зависеть только от
и
и уравнение (1) упрощается:
. (4)
Решение уравнения (4) с условиями (2), (3) можно найти методом Фурье. Ищем сначала все решения вида
.
Легко показать (как в § 5.7), что функции
и
удовлетворяют уравнениям
, (5)
. (6)

Рис. 126
Таким образом, надо найти числа
, для которых уравнение (6) имеет нетривиальное решение
, удовлетворяющее граничному условию
. (7)
Эти числа
называются собственными значениями данной задачи Штурма-Лиувилля, а функции
- им принадлежащими собственными функциями.
Замечание. В § 5.7 рассматривалась задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными условиями
. В данной же задаче, тоже для уравнения второго порядка, фигурирует только одно граничное условие
. Это происходит потому, что данное уравнение имеет особенность в точке
, вследствие которой это уравнение имеет наряду с ограниченными и неограниченные решения. Фактически и в данном случае ищутся собственные функции, удовлетворяющие двум граничным условиям: первое условие - собственная функция
должна быть ограничена в окрестности
и второе условие -
.
Чтобы получить решение уравнения (6), введем новую переменную
,
.
Тогда уравнение (6) превращается в такое же уравнение, но при
:
. (8)
Уравнение (8) уже изучалось в §1.24, пример 2. Оно имеет два линейно независимых решения, одно из них неограничено в окрестности точки
, а другое есть функция Бесселя нулевого порядка
,
где степенной ряд справа сходится на интервале
. Всевозможные ограниченные в окрестности нулевой точки решения уравнения (8) имеют вид
, где
- произвольная постоянная (см. замечание 1 § 1.24). Соответствующие функции

и будут нужными нам ограниченными на
решениями уравнения (6).
Теперь остается подобрать
так, чтобы выполнялось граничное условие
.
Мы видим, что число
должно быть корнем функции
. Хорошо известно, что функция
имеет бесконечное число нулей:
. Например,
;
; … .
Итак, числа
суть собственные значения, a
им принадлежащие собственные функции нашей краевой задачи. Эти функции можно умножать на произвольные постоянные
и получать снова собственные функции
,
принадлежащие числам
.
При
решение уравнения (5) запишется
.
Соответствующие решения уравнения в частных производных (4), удовлетворяющие граничному условию (2), имеют вид
,
где
,
- произвольные постоянные. Но тогда и сумма бесконечного ряда
(9)
является решением уравнения (4), удовлетворяющим граничному условию (2), конечно, если числа
и
быстро стремятся к нулю, чтобы эти ряды можно было два раза почленно дифференцировать.
Чтобы найти решение поставленной задачи, коэффициенты
и
находим из начальных условий (3):
, (10)
. (11)
Функции Бесселя
обладают свойствами, сходными со свойствами тригонометрических функций. Так, если функция
кусочно-гладкая на
, то она непременно разлагается в ряд вида (10) (с постоянными коэффициентами
), сходящийся к ней, во всяком случае, в смысле среднего квадратического (см. также § 5.10).
Мы знаем, что тригонометрические функции ортогональны на
. Функции Бесселя
тоже ортогональны на
, но, как говорят, с весом
:
. (12)
Отсюда следует, как мы это докажем ниже, что в равенствах (10), (11) числа
,
необходимо вычисляются по формулам
(13)
Система непрерывных на отрезке
функций
(14)
называется ортогональной на
с весом
, где
непрерывная функция, если выполняются равенства
. (15)
Если функция
разложена в равномерно сходящийся на
ряд по функциям
системы (14):
, (16)
то
. (17)
В самом деле, после умножения ряда на
его равномерная сходимость не нарушается и почленное интегрирование по
в силу свойств (15) приводит к равенству
,
откуда и получаем формулы (17).
Докажем (12). Функция
удовлетворяет уравнению
.
Умножая уравнение со значком
на
, а уравнение с индексом
на
и вычитая из одного другое, получим


.
Легко проверить, что это уравнение можно представить в виде

.
Интегрируя это равенство по
в пределах от 0 до 1, получим
,
так как интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу того, что
.