§ 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

,                   (1)

где  - непрерывно дифференцируемая на отрезке  функция, а  и  - непрерывные на этом отрезке функции. При этом , ,  на  и - постоянное число.

Поставим задачу (Штурма-Лиувилля). Требуется найти все числа  (собственные значения), для которых существует нетривиальное дважды непрерывно дифференцируемое решение  уравнения (1) (собственная функция), удовлетворяющее граничным условиям

                         (2)

где  - постоянные числа.

Можно доказать, что:

1) Существует счетное множество собственных значений задачи

 ,

которым соответствуют собственные функции

.

2) При  все собственные значения  положительны.

3) Собственные функции на отрезке  образуют ортогональную и нормированную систему с весом :

4) Теорема Стеклова. Всякая функция , удовлетворяющая краевым условиям (2) и имеющая непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям

, .

Задача 1. Решить уравнение свободных колебаний струны при наличии сопротивления среды

при начальных и краевых условиях

, , .

При решении предполагать, что коэффициент трения  мал ().

Ответ.

,

где

,

, .

Задача 2. Решить уравнение

при условиях

, , .

Ответ.

,

где

, .

Указание. Решение искать в виде , где  - неизвестная функция.

Задача 3. Доказать свойство 3) ортогональности собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (1) на , удовлетворяющих граничным условиям (2).

Указание. Необходимо следовать схеме доказательства ортогональности функций Бесселя (см. § 5.9).

Задача 4. Привести уравнение (Чебышёва)

                  (3)

к виду (1) на .

Указание. Умножить левую и правую части уравнения (3) на  и найти функцию  из условия

. .

Задача 5. Найти весовую функцию  для уравнения (Чебышёва-JIareppa)

.

Ответ. , .