§ 6.4. Гармонические функции
Пусть на области
плоскости
задана аналитическая функция
. Тогда, как это уже было отмечено в § 6.2, функция
имеет на
непрерывные производные любого порядка. Но тогда функции
и
имеют на
непрерывные частные производные любого порядка, а первые производные удовлетворяют условиям Коши - Римана
,
, (1)
из которых следует
,
.
Складывая эти равенства, получаем
. (2)
Левую часть уравнения (2) обозначают символом
.
Уравнение
(3)
называют уравнением Лапласа. Символ
называют оператором Лапласа.
Функцию
, имеющую непрерывные частные производные второго порядка на
и удовлетворяющую уравнению Лапласа (3), называют гармонической на
.
Итак, мы установили, что действительная часть аналитической на
функции является гармонической функцией на
.
Если первое равенство в (1) продифференцировать по
, а второе - по
и вычесть второе равенство из первого, то будем иметь
,
т. е. и мнимая часть аналитической функции является гармонической функцией.
Однако функция
, где
и
- произвольные гармонические на
функции, не всегда является аналитической на
. Она будет аналитической, только если функции
и
удовлетворяют на
условиям Коши - Римана.
Покажем, что если
есть односвязная область, то для всякой гармонической на
функции
существует единственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряженная к
на
функция
такая, что

аналитическая на
.
Пусть задана на
гармоническая функция
. Положим
,
.
Так как
имеет на
непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяющие уравнению Лапласа, то
.
Из полученного равенства
на 
и односвязности
следует (см. § 3.4), что криволинейный интеграл
(4)
вдоль любого кусочно-гладкого пути
, соединяющего точки
и
, зависит от этих точек, но не зависит от формы пути. При этом
есть функция, потенциальная для вектора
на
, т. е.
,
.
Это показывает, что
имеет непрерывные частные производные на
, удовлетворяющие вместе с
условиям Коши - Римана. Но тогда
и
- сопряженные друг к другу функции.
Если
- другая функция, сопряженная к
на
, то
,
. (6)
Из (5) и (6) следует:
,
на
.
Но тогда
на
, где
- постоянная. Утверждение доказано.
Пример 1. Функция
удовлетворяет, очевидно, уравнению
. Найти аналитическую функцию
, у которой
.
Мнимую часть этой функции ищем по формуле (4) (рис. 134):


.

Рис. 134
Тогда функция
аналитическая во всей комплексной плоскости.
Пример 2. Функция
аналитическая на плоскости
. Следовательно, функции
,
гармонические и удовлетворяют условиям Коши - Римана на плоскости
. Это можно проверить непосредственно.
Пример 3. Функции
,
гармонические, но условия Коши - Римана для них не выполнены, поэтому функция
не является аналитической. Убедимся в этом непосредственно:
,
,
.
Выбираем два пути подхода точки
к точке
, а именно, a)
,
; б)
,
. Тогда:
в случае а)
, т. е.
;
в случае б)
, т. е.
.
Таким образом, предела
при
не существует и функция
не имеет производной в любой точке плоскости.
Замечание. В полярных координатах
,
гармоническая функция
перейдет в некоторую новую функцию относительно координат
и 
.
Легко видеть, что
,
,
,

.
Отсюда
.
В связи с этим равенством пишут

и правую часть этого символического равенства называют оператором Лапласа в полярных координатах. Мы доказали, что
.