§ 6.5. Обратная функция
Пусть задана аналитическая функция
, (1)
отображающая область
плоскости
на область
плоскости
взаимно однозначно (или одно-однозначно). Это значит, что каждому
соответствует при помощи функции (1) одно значение
при этом каждое
в силу этого закона соответствует только одному значению
. Этим определена на
однозначная функция
(2)
обладающая тем свойством, что
.
Имеет место, очевидно, и другое равенство

.
Функция
называются обратной функцией к функции
.
Покажем, что если
,
то функция
есть аналитическая функция на
.
В самом деле, пусть точки
. Этим точкам соответствуют при помощи обратной функции точки
. Так как по условию функция
имеет производную в точке
, то она непрерывна в этой точке:
, если
. В силу указанной взаимной однозначности верно и обратное, как это можно доказать, но мы доказательство опускаем,
, если
. Но тогда
.
Это показывает, что производная от обратной функции
существует в точке
и равна
. (3)
Так как
- производная точка
, то функция
аналитическая на
.
Пример. Функция

при
отображает всю плоскость
на всю плоскость
взаимно однозначно. При этом обратная функция имеет вид
.
Непосредственно видно, что обе эти функции аналитичны соответственно на плоскостях
и
.
Функция
(
- натуральное). Плоскость
точек
разрежем на
секторов лучами
,
выходящими из нулевой точки (см. рис. 135, где
). Пусть
есть сектор
, (4)
точнее, множество точек
,
, имеющих аргумент
, удовлетворяющий неравенствам (4). Очевидно,
есть область. Обозначим также через
множество, получаемое добавлением к
луча
(вместе с нулевой точкой). Точки
можно записать в виде
.
Положим еще
.
Если
, то
и обратно.
Функция
отображает
взаимно однозначно и непрерывно на всю плоскость
,
которую обозначим через
.

Рис. 135
В самом деле,
,
поэтому
,
,
откуда
,
,
где
есть арифметическое значение корня
-й степени из
, т. е. неотрицательное число,
-я степень которого равна
. Из сказанного следует, что функция
на множестве
имеет обратную функцию

. (5)
Вообще же функция
имеет обратную
-значную функцию
,
имеющую
непрерывных ветвей (5), соответствующих числам
. Ветви (5), определяемые числами
, отображают
соответственно на
.
Чтобы вычислить производную от
-й ветви, нам придется рассмотреть область
. Обозначим через
пространство
без луча
.
Аналитическая функция
отображает взаимно однозначно
на
. При этом соответствующая обратная функция определяется по формулам (5). В силу (3) производная от нее равна 

.
Рассматривая области
вместо множеств
, мы исключаем из рассмотрения лучи
плоскости
. Если бы нас интересовало поведение функции
в окрестности этих лучей, то следовало бы плоскость
разрезать лучами


и считать, что
,
суть множества точек
, определяемых соответственно неравенствами
.
Функции
,
. Функция

аналитическая на плоскости
точек
. Она не равна нулю для всех
. Это видно из того, что
и
.
Обозначим через
плоскость точек
, через
- эту плоскость с выкинутой из нее точкой
и через
- эту плоскость с выкинутым из нее положительным лучом оси
.
Из дальнейшего мы увидим, что образ
при помощи функции
есть область
. Однако отображение
на
не взаимно однозначно - обратная функция к функции
, называемая натуральным логарифмом
и обозначаемая через
,
бесконечнозначна. Ниже мы определяем эту функцию.
Для этого разрежем
на полосы прямыми (рис. 136)
.
Открытую полосу
обозначим через
и полузамкнутую полосу
- через
.

Рис. 136
Замена переменной
на
при помощи равенства

преобразовывает полосу
точек
на полосу
точек
взаимно однозначно.
Рассмотрим функцию
на множестве
. Полагая
,
,
, будем иметь
,
откуда
,
.
Таким образом,
,
.
Следовательно, функция
имеет на полосе
обратную однозначную функцию
(6)
.
Вообще же функция
имеет обратную бесконеч нозначную функцию
,
имеющую бесконечное число непрерывных ветвей (6), соответствующих числам
.
Область
преобразуется при помощи аналитической функции
на область
плоскости
взаимно однозначно. Обратная к ней однозначная функция, определяемая для данного
равенством (6), аналитическая на
. Ее производную лучше всего вычислить с помощью формулы (3):
. (7)
Подчеркнем, что мы здесь вычислили производную не от многозначной функции
, а от ее определенной однозначной ветви, соответствующей некоторому
.
Тот факт, что производная оказалась равной функции
, не зависящей от
, объясняется тем, что разные ветви (6) отличаются на постоянную.
При вычислении производной от
мы считали, что точки
принадлежат к областям
, исключив из рассмотрения прямые
плоскости
.
Если бы мы интересовались поведением рассмотренных функций на прямых
, то тогда следовало бы разрезать плоскость
сдвинутыми прямыми
,
,
,
считая таким образом, что
есть область точек
, для которых
.
Степенная функция
(
- действительное число) определяется по формуле

(8)
или
(8')
где
.
Если
- целое, то

И
,
где
понимается в обычном смысле как произведение
множителей
.
Если
, где
,
, - целые, то числа справа в (8') существенно различны лишь при
:
.
В частности, при
и
натуральном мы получили уже эти факты (см. (5)).
Если же
- иррациональное число, то функции, определяемые формулой (8) или (8') для разных
, различны. Это непрерывные ветви многозначной (бесконечнозначной) функции
.
Имеем далее (
)

,
т. е. равенство
, (9)
верное для любой ветки
. При этом, с каким
взята ветвь
в левой части (9), с таким же
надо взять ветвь
в правой части.
Замечание. Обратные функции для тригонометрических и гиперболических функций можно ввести аналогичным образом.
Например, функция
является обратной к функции
, т. е.
.
Из уравнения

находим
,
,
т. е.
.
Таким образом,
- бесконечнозначная функция
.
Аналогично можно получить
,
,
,
.