§ 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного
Пусть
- непрерывная функция комплексного
, определенная в области
и
- гладкая кривая, лежащая в
, с началом в точке
и концом в точке
(рис. 137), заданная уравнением

или, что все равно, двумя уравнениями
. (1)

Рис. 137
Как всегда, направление на
соответствует изменению параметра
от
до
.
Интеграл от функции
вдоль кривой
определяется следующим образом:


.
Если учесть, что
и
, то равенство (2) можно коротко записать так:
. (3)
Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.
Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции
(в этом случае функции
и
также непрерывны) и любой гладкой кривой
(т. е. когда
,
) непрерывны и
).
Если кривая
кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков
, то по определению считаем
. (4)
На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем
1)
,
где
та же кривая, что и
, но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).
2)
,
где
- постоянные числа.
3)
Если
при
, то
,
где
- длина
.
В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем

.
Пример 1.
, (5)
где
есть окружность с центром в точке
, ориентированная против часовой стрелки.
В самом деле, уравнение
можно записать в форме
,
где
- радиус окружности
. Поэтому
.
Пример 2. При целом 
, (6)
где
- снова окружность с центром в точке
, ориентированная против часовой стрелки. В самом деле,

,
потому что
для любых целых
.
Теорема 1 (Коши). Если функция
аналитическая на односвязной области
, то интеграл от
по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру
, принадлежащему
, равен нулю:
.
Доказательство. Так как
- аналитическая на
функция, то функции
и
непрерывно дифференцируемы, и выполняются условия Коши - Римана:
,
, (7)
в силу которых выражения
и
есть полные дифференциалы некоторых функций. Поэтому криволинейные интегралы по замкнутому контуру
от этих выражений равны нулю (см. § 3.4 и 3.5). Но тогда, согласно равенству (2),
.
Пример 3.
,
,
,
,
,
,
,
где
- произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, потому что подынтегральные функции аналитические на плоскости
. Ведь они имеют непрерывную производную во всех точках
комплексной плоскости.

Рис. 138

Рис. 139
Как следствие из теоремы 1 получаем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть область
комплексной плоскости ограничена сложным положительно ориентированным кусочно-гладким контуром
, т. е. при обходе по
точки
остаются слева. Тогда для функции
, аналитической на
, имеет место равенство
.
Поясним эту теорему. На рис. 138 изображена двусвязная область
с кусочно-гладким контуром
, ориентированным положительно.
Соединим контуры
и
гладким куском
, как на рис. 139. Ориентируем
двумя противоположными способами:
. В результате получим новую область
односвязную, ограниченную ориентированным контуром
. По теореме 1
.
Но
,
поэтому
.
Каждый из интегралов
,
при этом может и не равняться нулю.
Замечание 1. Для краткости мы будем позволять себе писать «контур» вместо «замкнутый непрерывный кусочно-гладкий контур».
Из теоремы 2 как следствие вытекает
Теорема 3. Пусть область
ограничена внешним контуром
, ориентированным против часовой стрелки, и внутренними контурами
, ориентированными тоже против часовой стрелки (как на рис. 140, где
), и пусть на
задана аналитическая функция
.

Рис. 140
Тогда имеет место равенство
. (8)
В самом деле, если считать, что
- тот же контур, что и
, но ориентированный по часовой стрелке, то по теореме 2
,
откуда следует (8), потому что
.
Отметим, что если в теореме 3
, то
(9)
(рис. 141).

Рис. 141
Замечание 2. Из равенства (9), т. е. из теоремы 3 при
следует, что равенства (5) и (6) остаются верными, если в них окружность
с центром в точке
заменить на любой замкнутый кусочно-гладкий контур
содержащий внутри точку
и ориентированный против часовой стрелки:
, (10)
. (11)
Формулы (10) и (11) являются основными в этой теории. Именно к ним, как мы увидим, обычно сводится вычисление криволинейных интегралов от аналитических функций (см. далее § 6.10 и 6.11).