1.3.4. Однородные уравнения.Функция
Если функции
называется однородным. Его можно преобразовать следующим образом
т.е.
где Введем вместо
Тогда или Следовательно, или где Отметим более общее уравнение, чем (8):
Его можно решить подстановкой
тогда
где Пример 3. Данное уравнение является однородным, так как функции однородные степени или
Разделяя переменные, полдучаем
Так как у нас
Пример 4.
Это уравнение есть частный случай (9), если
Уравнение (11) при
и его решение записывается по формуле (10), где
Полученное уравнение есть частный случай уравнения Риккати
которое интегрируется в квадратурах только в исключительных случаях. Мы доказали, что при Если приводит уравнение Риккати к виду Последовательно применяя эту подстановку, можно исходное уравнение свести к случаю Если же приводит уравнение к виду Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Риккати к случаю Во всех других случаях уравнение Риккати не решается в квадратурах. Пример 5. Имеем
Это уравнение есть частный случай уравнения (9) при
|