1.3.5. Линейное уравнение.
Уравнение
, (13)
где
- непрерывные функции от
на интервале
, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Неизвестная функция
и ее производная входят в это уравнение в первой степени - линейно.
Если
, то уравнение
(14)
называется линейным однородным, а в связи с этим уравнение (13) называют линейным неоднородным.
Однородное линейное уравнение имеет решение
. Оно является уравнением с разделяющимися перемевными:

(15)
Если в (15) разрешить постоянной
принимать нулевое значение, то формула (15) дает и решение
.
Формула (15) показывает, что график решения линейного однородного уравнения лежит выше оси
, если
, или ниже оси
, если
.
Мы пришли к формуле (15) по следующей схеме. Мы предположили, что функция
есть решение дифференциального уравнения (14), отличное от нуля всюду на
, и пришли к тому, что оно определяется формулой (15) при некотором
. Надо иметь в виду, что интеграл
обозначает некоторую первообразную функцию от
на интервале
, поэтому и решение, даваемое формулой (15), определено на
. Легко проверить, что функции (15) при любом
, в том числе и при
, суть решения дифференциального уравнения (14).
Остается выяснить вопрос о существовании решений вашего дифференциального уравнения, пересекающих ось
. Для этого можно воспользоваться теоремой 1 § 1.2. Разрешая (15) относительно
, получим
.
Легко проверяется, что правая часть этого равенства есть функция от
, имеющая непрерывные частные производные на полосе
, и тот факт, что если продифференцировать это равенство по
, считая, что
, то получим дифференциальное уравнение (14). Тогда по теореме 1 § 1.2 формула (15) содержит все решения уравнения (14). Таким образок, линейное уравнение (14) не имеет решений, пересекающих ось
.
Уравнение (13) обычно решают методом Бернулли, который заключается в следующем. Будем искать решение в виде произведения двух функций
.
Имеем
. Подставляя значения
и
в (13), получим
или
.
Подберем функцию
так, чтобы
. Относительно
имеем линейное однородное уравнение, следовательно, по формуле (15) можем положить
. При такой функции
получаем
, откуда

Следовательно, общее, т. е. какое угодно, решение уравнения (13) запишется в виде
, (16)
где
- произвольная постоянная.
Входящие в формулу (16) интегралы обозначают произвольные, но выбранные определенно первообразные от подынтегральных функций. Удобно эти первообразные взять в виде определенных интегралов с переменным верхним пределом
и нижним фиксированным пределом
, принадлежащим
.
Тогда формула (16) примет вид
. (16')
Если потребовать, чтобы при
решение обратилось в
, то, очевидно, получим
.
Следовательно, решение задачи Коши
для дифференциального уравнения (13) дается формулой
(16'')
Формула (16) показывает, что общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (получающегося из (16) при
).
Мы рекомендуем не применять формально формулу (16), а в каждом примере повторять все выкладки.
Примерб. Решить уравнение
.
Здесь
. Положим

Интегрируя по частям, находим, что
.
Замечание. Уравнение (13) можно решать также методом вариации произвольной постоянной. Если
— постоянная, то формула (15) дает решение однородного уравнения. Будем считать
- функцией от
и подберем ее так, чтобы выражение
было решением (13). Но это тот же метод Бернулли при
.