§ 6.10. Ряд Лорана
Теорема 1. Пусть
. Всякая аналитическая в кольце
(1)
функция
однозначно представляется в этом кольце в виде сходящегося ряда
, (2)
где
, (3)
а
- любая окружность
,
, ориентированная против часовой стрелки.
Ряд (2) называется рядом Лорана функции
по степеням
или разложением Лорана функции
в кольце
.
Замечание. Когда говорят, что ряд
сходится, под этим подразумевается, что сходятся отдельно ряды
и
.
Доказательство теоремы 1. Возьмем ориентированные против часовой стрелки окружности
и
радиусов
и
с центром в точке
, где
(рис. 146).

Рис. 146
В силу условия теоремы
аналогична в кольце между окружностями
и
и на самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для сложного контура имеем

или
, (4)
где
- точка между окружностями
и
.
В первом интеграле точка
обозначает точку окружности
, поэтому
,
, (5)
причем ряд справа сходится равномерно для
(при фиксированном
).
Во втором интеграле точка
обозначает точку окружности
, поэтому
,
, (6)
причем ряд справа сходится равномерно для всех
(при фиксированном
).
Подставляя (5) и (6) в (4) и почленно интегрируя, получаем



. (7)
Так как функция
при любом
аналитична в кольце, то в силу теоремы Коши интеграл (3) равен подобному интегралу по любой другой окружности, в частности по
и
. Поэтому из (7) следует (2), где числа
вычисляются по формулам (3).
Первый ряд
в правой части (2), сходится в круге
к некоторой аналитической в этом круге функции
. Он называется правильной частью ряда Лорана.
Второй ряд в правой части (2)
,
сходится при
. Он определяет некоторую аналитическую функцию
, называемую главной частью ряда Лорана.
Итак,
,
где
- функция аналитическая в круге
, а
- вне круга радиуса
с центром с точке
(
). Внутри кольца
обе эти функции аналогичны.
Коэффициенты ряда Лорана
рассматриваемой функции
единственны, потому что они вычисляются по формулам (3).
Пример 1. Функция

аналитична на плоскости
, за исключением точек
и
.
а) Функция
аналитична в круге
, и потому на основании теоремы 1 § 6.9 ее можно разложить в ряд Тейлора по степеням
, сходящийся в круге
:
. (8)
Числа
можно вычислить по формуле
. (9)
Однако в данном случае ряд (8) можно также получить, применив формулу для суммы членов убывающей геометрической прогрессии. Имеем (если
)

,

.
Поэтому для нашей функции
.
В силу единственности разложения функции в степенной ряд полученные числа
равны соответственно числам
, вычисляемым по формуле (9).
б) Функция
аналитична в кольце
. Поэтому ее можно разложить в ряд Лорана
, (10)
, (11)
где
- окружность
,
, ориентированная против часовой стрелки. Но числа
можно получить, не прибегая к сложным формулам (11). Имеем для 
,
.
Поэтому ряд Лорана функции
целый вид
.
Вследствие единственности разложения в ряд Лорана полученные коэффициенты равны соответственно числам
, определяемым по формулам (11).
в) Функция
аналитична также во внешности круга
, т. е. для значений
, удовлетворяющих неравенству
и обладает свойством
. (12)
Поэтому
можно разложить в ряд Лорана вида
. (13)
Члены вида
(
) не могут входить в разложение Лорана функции
, т. е.
для указанных
. Иначе это противоречило бы свойству (12).
Числа
здесь тоже можно получить непосредственно. Имеем для 
,
.
Поэтому
.
Пример 2. Надо разложить функцию
(14)
в ряд Тейлора по степеням
и определить радиус сходимости этого ряда.
Решение. Наибольший крут с центром в точке
, внутри которого функция
аналитическая, имеет радиус, равный расстоянию от точки
до ее ближайшей особой точки. Таковой является, очевидно, точка
. Следовательно, указанный радиус равен
.
Обозначим через
открытый круг (без границы) с центром в точке
радиуса
.
Внутри круга
функция
аналитическая, а любой концентрический ему круг большего радиуса содержит в себе особую точку
, в которой аналитичность нарушается.
На основании теоремы 1 § 6.9 функция
разлагается в ряд Тейлора по степеням
. Этот ряд легко получить эффективно.
Имеем

, (15)
и мы получили степенной ряд по степеням
, сходящийся, очевидно, в круге
,
.
Далее

.
Снова получен степенной ряд по степеням
, тоже сходящийся в круге
. На самом деле он сходится в круге радиуса
, но это нам не понадобится.
Разность рядов (16) и (15) есть разложение в ряд Тейлора по степеням
функции
. Радиус сходимости этого ряда равен
.
Задача. Разложить функцию
(см. (14)) в ряд Лорана по степеням
: а) в кольце
и б) в окрестности
.