§ 6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты
В § 6.10 была доказана теорема 1, утверждающая, что если
и функция
аналитична в кольце
,
то она разлагается в сходящийся к ней ряд Лорана
, (1)
где
(2)
Пусть
. Предполагается, таким образом, что функция аналитична в открытом круге
, из которого выколота точка
. В самой точке
функция
чаще всего бывает не определена.
Говорят в этом случае, что
есть изолированная особая точка функции
. Ниже будет дана классификация изолированных особых точек.
Степенной ряд

имеет радиус сходимости
. Поэтому его сумма имеет непрерывную производную в круге
.
Рассмотрим три случая (при
).
Случай а). Функция
имеет вид
, (3)
т. е. все числа
(
). Так как степенной ряд (3) сходится для всех
с
, то его радиус сходимости равен
и, следовательно (см. § 6.9), его сумма
определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга
, в том числе и в точке
. Таким образом, функция
аналитична в этом круге.
Поэтому, если принять, что
,
то и функция
будет аналитической в этом круге.
В этом случае говорят, что особенность у функции
в точке
устранима. Достаточно положить
, как функция
станет аналитической не только поблизости от точки
, но и в самой точке.
Заметим, что в данном случае интеграл
(4)
для любого замкнутого контура
, содержащего внутри точку
и принадлежащего к кругу
.
Случай б). Функция
имеет вид
. (5)
Таким образом,
для
. В этом случае говорят, что точка
есть полюс функции
порядка (кратности)
. При
точку
называют еще простым полюсом.
Так как

и
, (6)
то
. (7)
Теперь, если
- контур, ориентированный против часовой стрелки, содержащий внутри
и принадлежащий к кругу
, то
. (8)
В самом деле,
,
потому что
,

(см. (10), (11) § 6.6).
Случай в). Функция
имеет вид
, (9)
где в ряду

не равно нулю бесконечное число коэффициентов
.
В этом случае говорят, что функция
имеет в точке
существенную особенность.
Мы знаем, что
.
Однако
при указанных условиях не стремится при
к какому-нибудь пределу - конечному или бесконечному. Этот факт мы не имеем возможности здесь доказать и скажем только, что он вытекает из известной теоремы Сохоцкого.
Заметим, что рассуждения, которые приводились при доказательстве равенства (6) в случае полюса, в данном случае неприменимы, потому что для бесконечных сумм операция почленного предельного перехода не всегда законна.
Пример 1. Функция
имеет существенную особенность в точке
. Эта функция не имеет предела в точке
.
В самом деле, при
(
- действительное)
, когда
. Однако если
, то
при
. Значит, предел в точке
у функции
не существует.
Для любого ориентированного против часовой стрелки контура
, принадлежащего к кругу
и содержащего внутри точку
, так же как в случае полюса
. (10)
Дело в том, что интеграл по
в данном случае (см. замечание 2 § 6.6) можно заменить на интеграл по какой-либо ориентированной против часовой стрелки окружности
с центром в точке
, принадлежащей к кругу
. Но на
ряды (9) равномерно сходятся и, следовательно, их можно почленно проинтегрировать по
. Однако, как мы знаем,
и
,
откуда следует равенство (10).
Сделаем теперь определение: пусть
есть изолированная точка функции
, т. е. пусть функция
аналитическая в некотором круге
,
из которого выколота точка
. Вычетом функции
в точке
называется интеграл
, (11)
где
- контур в круге
, ориентированный против часовой стрелки и содержащий в себе точку
.
На основании сказанного выше (см. случаи а), б), в)), если

есть ряд Лорана
в точке
, то
. (12)
Поэтому, если известно разложение функции в ряд Лорана по степеням
, то вычет в точке
легко находится.
В частности, если
- устранимая особая точка, то
.
Иногда разложить функцию
в ряд Лорана трудно, и поэтому приходится искать другие способы вычисления вычета, не разлагая функцию в ряд Лорана.
Пусть
- полюс порядка
. Тогда
. (13)
Умножая левую и правую части (13) на
, имеем

. (14)
Если продифференцировать равенство (14)
раз, то свободный член справа будет равен
и, следовательно,
,
откуда
. (15)
Если функция
, где
, а
имеет простой нуль при
, то
является простым полюсом
. На основании формулы (15) (при
) имеем

.
Таким образом, в данном случае
. (16)
В случае, когда
- существенно особая точка, у нас имеется только один способ вычисления вычета - разложение функции
в ряд Лорана.
Пример 2. Найти вычет функции
в точке
.
В данном случае
, где
,
. Точка
является простым полюсом функции
, так как
,
,
,
. Значит, по формуле (16) получаем
.
Пример 3. Найти вычет функции
в точке
. Имеем

Таким образом, точка
является существенно особой и
.
Пример 4. Найти вычет функции

относительно точки
.
Данная точка является полюсом второго порядка, поэтому по формуле (15) имеем

.