§ 6.13. Теорема о вычетах
Теорема 1. Пусть функция
аналитическая на всей плоскости
, за исключением конечного числа точек
. Тогда имеет место равенство
. (1)
Доказательство. Построим окружности
, ориентированные по часовой стрелке, с центрами соответственно
, настолько малого радиуса, чтобы они не пересекались.
Кроме того, построим окружность
, ориентированную против часовой стрелки, с центром в нулевой точке, настолько большого радиуса, чтобы окружности
оказались внутри
(рис. 148). Сложный контур
ограничивает область
, внутри которой функция
аналитическая. Она аналитическая также на
. При этом при обходе по
область
остается слева.

Рис. 148
Но тогда на основании теоремы Коши для сложного контура
(2)
или, если помножить левую часть на
, то получим (
ориентирована противоположно
):
,
т. е.
.
Надо учесть, что внутри каждого из контуров
имеется только одна особая точка
, а вне
- только одна особая точка
. Теорема доказана.
Применение этой теоремы сводится к следующему. Если затруднительно вычислить один из интегралов, входящих в (2), то можно попытаться вычислить оставшиеся интегралы, входящие в (2), и получить искомый интеграл из (2).
Само вычисление этих интегралов сводится к разложению функции
в ряд Лорана в окрестности соответствующих особых точек. В сущности и эти разложения не надо знать полностью. Достаточно только знать члены вида
этих разложений, чтобы прийти к цели.