§ 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов
Пусть функция
аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек
, лежащих в верхней полуплоскости. При этих условиях мы рассмотрим способы вычисления интегралов
,
.
Теорема 1. Пусть функция
удовлетворяет перечисленным выше условиям и, кроме того,
при
, где
и
- достаточно большое число. Тогда
. (1)
Доказательство. Опишем полуокружность
(ориентированную против часовой стрелки) радиуса
с центром в точке
так, чтобы все особые точки функции
попали внутрь
(рис. 149). В силу теоремы 1 § 6.13
. (2)

Рис. 149
Так как
при
, то
,
.
Переходя к пределу в равенстве (2) при
, получим (1).
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Функция
аналитична в верхней полуплоскости, за исключением точек
,
,
в которых она имеет простые полюсы. Кроме того,
(
). Найдем вычеты функции
в точках
. По формуле (16) § 6.11
,
где
. Имеем
,
,
. Отсюда
,
.
По формуле (1) получаем

.
Теорема 2. Пусть функция
удовлетворяет условиям, отмеченным в начале параграфа и
равномерно относительно
. Тогда
. (3)
Доказательство. Так же как при доказательстве теоремы 1, имеем
(4)
(функция
имеет те же особенности, что и
).
Нам нужно доказать, что при
интеграл
стремится к нулю. Имеем

.
В силу условия теоремы
при
для всех
(
) и достаточно большого
. Поэтому (
при
)


.
Переходя к пределу в (4), при
получаем (3).
Если функция
имеет особенности на действительной оси, то специальным построением контура интегрирования можно вычислить соответствующие интегралы, если они существуют.
П р и м е р 2. Пусть
. Эта функция имеет простой полюс на действительной оси
в точке
. Далее,
равномерно относительно
.
Построим контур интегрирования, как на рис. 150. Обход контура осуществляется по стрелкам, указанным на этом рисунке. В заштрихованной части функция
аналитическая при любом
и любом
, поэтому по теореме Коши (полуокружность
ориентирована против часовой стрелки)
. (5)

Рис. 150
Как и выше, легко показать, что
.
Далее

.
Таким образом, равенство (5) в пределе, при
и
, принимает вид

,
т. e.
.
Так как функция
четная, то
.
Замечание. Если под знаком интеграла есть сомножитель
или
, то часто удобно рассматривать интеграл от функции, где
или
заменены на
. Это объясняется тем, что
и
неограниченно возрастают при
, а
при
(
). Поэтому поведение функции
будет другое, чем у функции
. Затем, получив значение интеграла
, выделяя действительную и мнимую части, мы найдем
и
.
Пример 3. Вычислить интеграл
.
Рассмотрим функцию
. Эта функция аналитична в верхней полуплоскости, кроме точки
. Функция
при
равномерно относительно
. Поэтому по теореме 2
.
Выделяя действительную часть, получим
,
.
Пример 4. Вычислить интеграл
.
Имеем

.
Итак,
.
Пример 5.

.
Пример 6. Вычислить интегралы Френеля
,
.
Рассмотрим функцию
. Эта функция в заштрихованной области (рис. 151) аналитическая, поэтому по теореме Коши
,
где
- часть окружности
,
- отрезок прямой
,
(ориентированные по стрелкам).

Рис. 151
Далее

;



,
.
Итак, в пределе при
получаем (см. пример 3 §2.13)
. Выделяя действительную и мнимую части, получаем
,
,
т. е.
.