§ 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция
Целая линейная функция. Рассмотрим три функции
, (1)
, (2)
, (3)
где
- постоянное комплексное число,
,
- произвольное действительное число.
Все три функции (1), (2), (3) отображают плоскость
на всю плоскость
.

Рис. 152

Рис. 153

Рис. 154
Функция (1) осуществляет сдвиг плоскости
на вектор
(рис. 152).
Функция (2)
осуществляет растяжение (при
) и сжатие (при
) плоскости
в
раз:
,
. На рис. 153 показан случай
.
Функция (3) осуществляет поворот плоскости
вокруг нулевой точки на угол
(рис. 154).
Функции (1), (2), (3) имеют соответственно производные
,
,
,
не равные нулю и потому они осуществляют конформные отображения.
Все эти три функции являются частными случаями более общей целой линейной функции
, (4)
где
и
- постоянные комплексные числа.
Осуществляемое ею отображение можно записать в виде
,
где
,
.
Отсюда следует, что она сводится к (1), (2), (3):
,
,
.
Иначе говоря, преобразование плоскости
, осуществляемое функцией (4), сводится к переносу (на вектор
), затем к повороту плоскости (на угол
) и затем к растяжению или сжатию плоскости в
раз.
Функция
. Полагая
,
, имеем
,
, (5)
где второе равенство надо понимать с точностью до
.
Отсюда видно, что окружность
переходит в себя, точнее каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно действительной оси.
Отметим, что если окружность
проходится в направлении против часовой стрелки, то отображенная окружность
проходится по часовой стрелке.
Преобразование (5) удобно разбить на два преобразования:
,
; (6)
,
. (7)
Преобразование (6) называется инверсией относительно единичной окружности.
При инверсии относительно единичной окружности точки
и
, лежащие на луче, составляющем угол
с осью
, переходят в точки, лежащие на этом же луче, и притом так, что
.
Построение точки
по известной точке
видно из рис. 155, где рассмотрен случай, когда
лежит вне окружности
. Из точки
проводим касательную к окружности
,
- точка касания,
. Из подобия треугольников (
и
)
,
,
.

Рис. 155
Если точка
находится внутри окружности
, то восстанавливаем из нее перпендикуляр к
до пересечения с окружностью в точке
. Через последнюю проводим касательную к окружности до пересечения с лучом
. Точка пересечения и будет точкой
.
Точки
и
называют взаимно симметричными относительно окружности
.
Отображая теперь (по (7)) точку
зеркально относительно действительной оси, мы получаем точку
.
Из формулы
видно, что при
точка
имеет неограниченно возрастающий модуль, поэтому удобно считать, что при помощи этой формулы точке
соответствует «бесконечно удаленная точка», которую обозначают символом
.
Итак, функция
отображает плоскость
на плоскость
при помощи преобразования инверсии относительно окружности
и зеркального отображения относительно оси
. При этом точка
переходит в точку
, а точка
- в точку
.
Далее
при любых
с
, поэтому отображение с помощью функции
конформно.
Дробно-линейная функция
. (8)
Будем считать, что
. Очевидно, что точка
переходит в точку
.
Функцию
, выделяя ее целую часть, можно представить в виде
, (9)
откуда видно, что
,
т. е. отображение с помощью функции (8) конформно.
Из равенства (9) видно, что данное отображение состоит из рассмотренных выше отображений:
,
,
.
Если считать прямую линию за окружность бесконечного радиуса, то при преобразовании (9) окружность переходит в окружность (круговое свойство).
Из геометрических соображений ясно, что при параллельном переносе, растяжении и вращении окружность переходит в окружность. Больше того, внутренность отображаемой окружности переходит на внутренность отображенной окружности. Поэтому достаточно проверить круговое свойство для преобразования
. Уравнение окружности в плоскости
, как нам известно, имеет вид

или

или
. (10)
В рассматриваемом случае
,
. Следовательно, уравнение (10) переходит в уравнение

или в уравнение

,
которое описывает некоторую окружность в плоскости
.
В частности, при
получаем прямую линию, т. е. окружность, проходящая через начало координат в плоскости
, переходит в прямую в плоскости
.
Отметим, что отображение с помощью функции (9) может переводить внутренность отображаемой окружности как на внутренность, так и на внешность отображенной окружности.
Функция (9) в принципе зависит от трех параметров, за которые можно взять отношение чисел
к одному из них (не равному 0).
Поэтому, чтобы определить преобразование (9), надо задать три условия. Обычно задают три пары соответствующих точек:
.
Легко подсчитать, что
,
.
Отсюда
. (11)
Это и есть преобразование (9), переводящее точки
в
.
Пусть заданы две окружности
и
соответственно в плоскостях
и
. Требуется найти дробно-линейное отображение, переводящее
на
и внутренность
на внутренность
.
На
и
соответственно зададим произвольные тройки точек
и
, следующие в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Тогда преобразование (11) и будет решением поставленной задачи.
В самом деле, оно отображает точки
соответственно в точки
и, очевидно, окружность
на
(в силу кругового свойства).
Тот факт, что в данном случае внутренность
переходит на внутренность
, следует из конформности отображения, осуществляемого дробно-линейной функцией.
В данном случае окружности
,
имеют положительную ориентацию (проходятся против часовой стрелки). В силу конформности отображения внутренняя нормаль к
(например, в точке
) переходит в дугу окружности (перпендикулярной
в точке
), которая находится внутри
, а это и обеспечивает отображение внутренности
на внутренность
.
Если же нужно найти дробно-линейное преобразование, отображающее
на
и внутренность
на внешность
, то в формуле (11) надо взять точки
на
, расположенные в положительном направлении, а точки
на
- в отрицательном направлении.

Рис. 156

Рис. 157
Эти выводы распространяются и на случай, когда либо
, либо
, либо и
и
являются прямыми. Однако требует пояснения, что надо понимать под внутренностью прямой
, когда на ней отмечены точки
.
В случае рис. 156 это есть верхняя полуплоскость, а в случае рис. 157 - нижняя полуплоскость.
Если прямую
дополнить точкой
, то ее можно мыслить как непрерывную окружность (см. рис. 156, 157) бесконечного радиуса.
Будем двигаться по
(возможно, через бесконечно удаленную точку) от
к
в таком направлении, чтобы дуга
не содержала в себе
. Этим направление обхода на
определено и тогда внутренностью
называется область, расположенная слева от
при движении по этому направлению. На самом деле этой областью является верхняя или нижняя полуплоскость.
3адача 1. Найти дробно-линейное преобразование, отображающее внутренность единичного круга на верхнюю полуплоскость так, чтобы точки
,
,
перешли соответственно в точки
,
,
.
Задача 2. Записать дробно-линейное преобразование верхней полуплоскости в себя, при котором точки
,
,
переходят соответственно в точки
,
,
.