§ 1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядкаКласс дифференциальных уравнений, которые мы можем эффективно решить, весьма узок. Например, решение простого на первый взгляд дифференциального уравнения оказывается, не может быть сведено даже к квадратурам (интегралам). Поэтому в большинстве случаев приходится решать дифференциальные уравнения приближенно. Но прежде чем применять какой-либо приближенный метод, надо знать, существует ли на самом деле решение дифференциального уравнения. Очень важно также знать заранее, единственно ли оно. Ниже формулируются условия, которые гарантируют существование и единственность решения дифференциального уравнения первого порядка
при начальном условии
Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть функция и имеет на нем ограниченную производную
Тогда на отрезке
существует и притом единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2). При этом выполняется неравенство
Решение Рис. 7 На рис. 7 в плоскости
Теорема утверждает, что если на прямоугольнике Подчеркнем, что теорема 1 гарантирует существование определенного отрезка
на котором заведомо существует решение уравнения (1), проходящее через точку Если бы нам понадобилось найти это решение приближенно, то при наличии указанной информации мы организовали бы нахождение приближенного решения именно на этом отрезке Теорема 1 будет доказана в § 1.6, а сейчас мы рассмотрим Пример. Уравнение
есть частный случай дифференциального уравнения (1). Правая его часть не зависит от Так как функция Пусть
Для него Следовательно,
Уравнение (5) легко решается. Общий его интеграл в верхней полуплоскости
Имеется еще одно решение Среди решений (7) выберем то, которое проходит через точку (3, 1). Очевидно, это есть решение
Его график изображен на рис. 8. Мы видим, что интегральная кривая уравнения (5), проходящая через точку Рис. 8 Наибольший интервал с центром в точке Теорема существования решения дифференциального уравнения будет доказана из общих соображений, относящихся к теории метрических пространств. Следующий параграф посвящен этой теории.
|