1.5.3. Принцип сжатых отображений.
Пусть в полном метрическом пространстве
задан оператор (функция), отображающий
в себя,
.
Оператор
будем называть сжимающим, если
,
где число
не зависит от
,
.
Элементы
метрического пространства
будем также называть точками этого пространства.
Точка
называется неподвижной точкой оператора
, если
.
Оператор
будем называть непрерывным в точке
, если

(т. е.
).
Легко видеть, что сжимающий оператор всегда непрерывен в любой точке
. Ведь, если
, то
.
Теорема 2. Если сжимающий оператор
отображает полное метрическое пространство
в себя, то существует единственная неподвижная точка этого оператора.
Эту теорему называют принципом сжатых отображений.
Доказательство. Докажем, что двух неподвижных точек быть не может. Пусть
,
- неподвижные точки:
. Тогда
. (7)
Если предположить, что
, то из (7) получаем
, чего быть не может. Значит,
и
.
Переходим к доказательству существования неподвижной точки.
Пусть
- любая точка пространства
. Составим последовательность элементов:

Эту последовательность будем называть итерационной, порожденной оператором
. Покажем, что эта последовательность фундаментальна. Имеем
(8)
Далее на основании неравенства треугольника и (8) получаем 

Так как
, то при любом
и
,
если
достаточно велико.
Итак, последовательность
фундаментальна, а так как пространство
полное, то она сходится к некоторому элементу
этого пространства
.
Докажем, что
— неподвижная точка:

при
.
Таким образом,
, и по первой аксиоме расстояния заключаем, что
, т. е.
- неподвижная точка. Теорема доказана.
Замечание. Используя тот факт, что
- неподвижная точка, получаем
(9)
Далее
,
откуда
. (10)
Формулы (9) и (10) показывают, что
является приближенным значением неподвижной точки с погрешностью, не превышающей
и
.
Обратим внимание на формулу (10), которая дает оценку расстояния между
и
через расстояние между двумя соседними точками
и
итерационной последовательности. Взяв
за приближенное значение
, мы гарантируем, что погрешность приближения меньше правой части (10).