1.5.4. Приближенное значение корня функции.
Пусть функция
имеет корень (нуль) на
. Будем предполагать, что
имеет производные первого и второго порядков и
на
, т. е.
монотонна на этом сегменте. Это говорит о том, что на
имеется один корень функции
.
Составим вспомогательную функцию
,
где
- некоторая непрерывно дифференцируемая функция, не равная нулю. Ясно, что неподвижная точка
функции
является нулем
и обратно.
Поэтому, если функция
отображает
в
и является сжимающей на
, то итерационная последовательность
сходится к неподвижной точке
(т. е. к корню
), а
можно взять за приближенное значение корня. При различных
мы получим различные приближенные методы вычисления корня функции
.
Рассмотрим конкретную функцию
и поставим задачу о приближенном вычислении корня этой функции с погрешностью 0,01. Имеем
,
,
. Следовательно, на
имеется только один корень
. Положим
.
Тогда
.
Выясним, будет ли эта функция сжимающей. По теореме Лагранжа получаем
,
где
.
Для отрезка 

и значения функции
не выходят за пределы
:
.
Таким образом, на
, функция
сжимающая. Пусть
, тогда
и

На основании (10)
можно взять за приближенное значение корня функции
с погрешностью 0,01 (на самом деле с погрешностью 0,003).