ГЛАВА 1 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению

Пусть тело, имеющее температуру  в момент времени , помещено в среду температуры . Требуется найти закон, но которому изменяется температура тела в зависимости от времени. Искомая температура есть функция от времени, которую обозначим через .

Из физики известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Учитывая, что функция  убывающая, в силу механического смысла производной получаем

                             (1)

где  - коэффициент пропорциональности.

Соотношение (1) является математической моделью данного физического процесса. Оно называется дифференциальным уравнением, потому что в него наряду с неизвестной функцией  входит и ее производная. Дифференциальное уравнение (1) может описывать и другие физические процессы. Например, радиоактивный распад также описывается уравнением (1) при .

Решение уравнения (1) легко угадать: , где  — произвольная постоянная. Значение этой постоянной можно найти из условия , из которого следует, что .

Таким образом, искомое решение имеет вид

.