§ 1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка
В уравнении
(1)
наряду с его решением
введем функцию
, полагая
. Тогда оно будет эквивалентно следующей системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка:
(2)
относительно двух неизвестных функций
и
.
В самом деле, пусть
, есть решение дифференциального уравнения (1). Оно имеет вторую непрерывную производную на
. Тогда
имеет первую непрерывную производную на
. Таким образом, функции
и
имеют непрерывную производную и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (2).
Обратно, если две функции
имеют непрерывные производные на
и удовлетворяют системе (2), то из первого уравнения системы (2) следует, что
имеет вторую непрерывную производную на
, а подставляя
из первого уравнения во второе, получим, что
есть решение дифференциального уравнения (1).
Система (2) есть частный случай системы
(3)
относительно известных функций
и
.
Эта последняя, очевидно, есть частный случай
(4)
где мы будем предполагать, что функции
и
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по
в некоторой области точек
.
Пара функций
называется решением системы дифференциальных уравнений (4), если эти функции определены на некотором интервале
, зависящем от этих функций, имеют непрерывные производные и удовлетворяют на
системе (4).
Если решить уравнения (4) относительно
и
, то получим систему вида (3) (конечно, предполагаем, что решение системы (4) относительно
и
возможно, что, как известно, обычно связано с неравенством нулю якобиана
).
Уравнения (3) (или (4)) образуют систему двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций
и
.
Система (3), разрешенная относительно
, называется нормальной.
Для нормальной системы (3) справедлива
Теорема 1 (существования). Пусть функции
и
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по
и
на области
точек
, и пусть задана произвольная точка
.
Тогда существует интервал
и определенные на нем непрерывно дифференцируемые функции
, удовлетворяющие системе (3) и начальным условиям
(5)
Указанные функции
единственны.
При этом, если функции
и
имеют непрерывные частные производные порядка
, то решения
и
непрерывно дифференцируемы
раз на указанном интервале
.
Выше было показано, что решение уравнения (1) второго порядка относительно одной функции может быть сведено к решению двух уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций (система (2)).
Но общая система дифференциальных уравнений первого порядка вида (3) тоже сводится к решению одного дифференциального уравнения второго порядка. В самом деле, подставив в систему (3) вместо
и
некоторые ее решения
и продифференцировав по
первое уравнение, получим
. (6),
Наряду с (6) будем рассматривать также первое уравнение (3)
, (3)
в котором подставлены
.
Найдем
из (7) (
) и подставим в (6), тогда получим дифференциальное уравнение второго порядка
(8)
относительно рассматриваемой функции
.
Мы получили, что если
- решения системы (3), то
- решение уравнения второго порядка.
Конечно, для того чтобы было возможным проделать эти выкладки, потребовались новые свойства от функций
и
: непрерывная дифференцируемость
по
и возможность разрешить первое уравнение (3) относительго
.