§ 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка
Уравнение
(1)
называется дифференциальным уравнением
-го порядка.
Здесь
- функция, непрерывная вместе со своими частными производными
на некоторой области
точек
-мерного пространства.
Разрешая уравнение (1) относительно
получаем
. (2)
Справедлива
Теорема 1 (существования). Пусть правая часть
уравнения (2), рассматриваемая как функция
переменных, непрерывна и имеет в некоторой окрестности
точки
непрерывные частные производные
.
Тогда существует интервал
и определенная на нем
раз непрерывно дифференцируемая функция
, удовлетворяющая уравнению (2) и начальным условиям
. (3)
Функция
, обладающая указанными свойствами, единственна.
Таким образом,
есть решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).
Если зафиксировать
, то каждой системе чисел
,
обладающих свойством
,
будет соответствовать решение нашего дифференциального уравнения, которое (при фиксированном
) можно записать в виде
. (4)
В результате получаем семейство решений нашего дифференциального уравнения, зависящих от
параметров
. Каждой определенной системе
параметров (
) соответствует свое решение дифференциального уравнения (со своим интервалом определения).
Можно в уравнении (2) ввести новые функции
.
Все они во всяком случае имеют непрерывную первую производную. Тогда уравнение (2) окажется эквивалентным следующей системе из
дифференциальных уравнений первого порядка:
(5)
Система (5) есть частный случай системы
(6)
из
дифференциальных уравнений первого порядка относительно
неизвестных функций
.
Это нормальная система (разрешенная относительно производных
). Она есть частный случай системы
. (7)
Справедлива
Теорема 2 (существования). Пусть функции
непрерывны, имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным, начиная со второй, в некоторой области
точек
, и пусть задана определенная точка
этой области.
Тогда существует интервал
и определенные на нем непрерывно дифференцируемые (единственные) функции
, удовлетворяющие системе (6) и начальным условиям
. (8)
Если функции
на
непрерывно дифференцируемы
раз, то соответственно и решения системы
обладают лучшими свойствами - они имеют непрерывную производную порядка
.
Если зафиксировать
, то каждой системе чисел
,
соответствует решение системы (6), которое можно записать (при фиксированном
) в виде
, (9)
где
— произвольные постоянные - параметры.
Выше было отмечено, что решение уравнения
-го порядка может быть сведено к решению системы из
дифференциальных уравнений первого порядка с
неизвестными функциями. Но верно и обратное утверждение: решение системы (6) при определенных условиях может быть сведено к решению некоторого дифференциального уравнения
-го порядка с одной неизвестной функцией.
Доказательство этого обратного утверждения представляет собой развитие соответствующего утверждения в случае
(см. § 1.12).
Пример. Свести систему

к дифференциальному уравнению третьего порядка.
Будем сводить нашу систему к дифференциальному уравнению относительно функции
. Дифференцируя первое уравнение системы, с учетом двух других, имеем
.
Дифференцируя еще раз, получаем
. (10)
Из системы уравнений
(11)
выражаем
и
через
и 
(12)
Подставляя эти значения
и
в (10), получим искомое уравнение третьего порядка относительно функции
:
.
Решая это уравнение, найдем функцию
, затем мы находим функции
и
по формулам (12).