§ 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения
Во многих случаях удается свести дифференциальное уравнение
-го порядка
(1)
к дифференциальному уравнению более низкого порядка, путем введения новой неизвестной функции. Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.
I. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую функцию
, т. е. уравнение имеет вид
. (2)
Введем новую функцию
, тогда
и уравнение (2) перепишется так:
, (3)
т. е. относительно функции
оно представляет собой уравнение
-го порядка.
Любое решение
, этого уравнения мы должны подставить в дифференциальное уравнение
и решить последнее относительно
:
.
Появилась произвольная постоянная. Часто некоторые решения дифференциального уравнения (3), не обязательно все, образуют семейство функций
,
зависящих от
параметров
. Ему соответствует семейство решений
дифференциального уравнения (2)
,
зависящих от
параметров
.
Пример 1.
.
Здесь функция
явно не входит в уравнение. Полагая
, находим
и наше уравнение принимает вид
. Разделяя переменные, имеем
,
т.е.
.
Но
, значит,
.
II. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно независимую переменную
:
. (4)
Будем считать в этом уравнении
независимым переменным, а
- искомой функцией. Обозначим
.
Тогда

Подставляя эти значения в (4), получим дифференциальное уравнение
- го порядка относительно
. Пусть
, есть решение этого дифференциального уравнения, отличное от нуля на
. Так как
, то
.
Мы получили решение
исходного уравнения (4) в неявной форме. При этом оно зависит от произвольной постоянной
.
Но часто функции
получаются в виде семейств функций
,
зависящих от
параметров
. Им соответствующие решения
в свою очередь образуют семейство

функций, зависящих от
параметров
.
Пример 2.
.
Здесь
явно не присутствует, поэтому полагаем
. Подставляя эти значения в уравнение, имеем
или
.
Отсюда
и
.
Если
, то
.
Если
, то, разделяя переменные, получаем

III. Левая часть уравнения (1) - однородная функция степени
относительно переменных
, т. е.
.
Для понижения порядка вводим новую функцию
по формуле
.
Тогда

Подставляя эти значения в уравнение (1), получим

или в силу однородности функции
.
Так как
, то отсюда получаем дифференциальное уравнение
- го порядка
.
Пусть
есть решение этого уравнения. Так как
, то
,
где
- произвольная постоянная. И если оказалось, что
,
то
,
где
- произвольные постоянные.
Пример 3. Решим этим методом уравнение предыдущего примера.
Функция
- однородная функция второй степени по отношению
. Функция
- решение уравнения. Будем считать, что
. Полагая
, имеем
. Подставляя эти значения в уравнение, получаем
.
Отсюда
. Функция
- решение данного уравнения (тогда
- решение исходного уравнения). Пусть
, тогда

- общее решение. Отметим, что решение
получается из общего при
.