1.16.2. Уравнение Эйлера.
Уравнение с переменными коэффициентами вида
,
где
, - постоянные числа, называется уравнением Эйлера. С помощью замены
это уравнение сводится к уравнению с постоянными коэффициентами. В самом деле, имеем
.
Отсюда

Подставляя эти значения, получим уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции
. Частными решениями этого уравнения, как мы показали выше, являются функции вида
или
, где
- корень (простой и кратный) соответствующего характеристического уравнения. Таким образом, частные решения уравнения Эйлера сразу можно искать в форме
.
Пример 8. Решим конкретное уравнение Эйлера
. Будем искать частные решения в виде
, тогда
.
Подставляя эти значения производных, получаем
.
Отсюда, если
, то
. Последнее уравнение имеет корень
второй кратности. Значит,
— решение уравнения Эйлера. Другое решение -
, в чем можно убедиться непосредственно. Так как
и
линейно независимы (их определитель Вронского равен
), то

- общее решение данного уравнения Эйлера.