§ 1.17. Метод вариации постоянныхРассмотрим неоднородное уравнение
где коэффициенты Допустим, что нам известна фундаментальная система решений
Как мы показали в § 1.15 (формула (6)), общее решение уравнения (1) равно сумме общего решения уравнения (2) и какого-либо решения уравнения (1). Решение неоднородного уравнения (1) можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение однородного уравнения (2). Разъясним этот метод на примере уравнения порядка. Итак, пусть задано линейное уравнение третьего порядка
Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения есть
где
Будем искать решение неоднородного уравнения (3) в виде суммы (4), где
Тогда будет Подставив эти производные и саму функцию
или Но выражения в скобках в левой части этого равенства равны нулю, поэтому
Мы получили уравнение (6) и два уравнения (5) с коэффициентами где
При этом функции
где функции Пример, Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных
Решая систему, имеем
Таким образом, общее решение исходного уравнения
|