1.18.2. Дифференциальное уравнение колебания пружины.На рис. 16 изображена подвешенная вертикально пружина. К нижнему ее концу прикреплен шарик, имеющий массу Координата центра шарика есть функция от времени Ускорение движения центра шарика есть производная второго порядка Итак, справедливо равенство
или
Мы видим, что искомая функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка (26). Общее его решение, как мы знаем, имеет вид
где При функции вида (27) говорят, что она описывает гармоническое колебание с частотой Задача Коши для уравнения (26): Легко подсчитать, что в этом случае
и, следовательно, движение центра шарика описывается функцией
Если учитывать вес шарика, то к правой части уравнения (25) надо еще добавить величину
Общее решение этого уравнения имеет вид
где Этот случай нахождения частного решения предусмотрен формулами (2)-(4) Из формулы (29) следует, что при
Следовательно, задача Коши
Мы видим, что центр шарика описывает гармонические колебания возле точки, имеющей ординату Но наши рассмотрения будут еще ближе к действительности, если мы учтем силу сопротивления среды (воздуха) и терния, возникающего в пружине. Опыт показывает, что эта сила равна Теперь уже дифференциальное уравнение движения (центра шарика) будет иметь вид или
Из физических соображений мы должны ожидать, что это движение совершает затухающие колебания. Так оно и есть. Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (30) имеет вид
откуда
Если
Частное решение уравнения (30) можно найти в виде постоянной
Как мы и ожидали, центр шарика совершает затухающие колебания. Эти колебания совершаются на оси Очевидно,
Рассмотрим еще движение (центр шарика), описываемое дифференциальным уравнением
Мы, таким образом, решили пренебречь сопротивлением среды (т.е. считаем Общее решение уравнения (32) имеет вид (см. выше пример 3)
Функция Функция Решение уравнения (32) есть сумма соответствующего ему решения однородного уравнения и некоторого его частного решения. На языке механики в этом случае говорят, что колебание системы есть сумма собственного и вынужденного колебаний этой системы. С математической точки зрения тот факт, что частное решение уравнения (32) имеет вид Механик этот факт выразил бы другими словами. Он сказал бы, что в данном случае частота собственного колебания системы равна частоте колебания внешней силы. Равенство этих частот, приводит к резонансу – система колеблется с той же частотой, но с неограниченно возрастающей при Другое дело, если указанные частоты различны, тогда резонанса нет. Например, в примере 2 указанные частоты различны и любое движение системы имеет ограниченную амплитуду.
|