§ 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство.При изучении закона движения материальной точки с массой
Векторное уравнение (1) эквивалентно системе трех скалярных уравнений
где Если считать неизвестными не только координаты точки
то мы получим систему из шести уравнений первого порядка
Векторное уравнение (1) можно также записать в виде системы двух векторных уравнений, если скорость
где Если ввести в рассмотрение вектор
то уравнение (1) или система (3) эквивалентны одному векторному уравнению первого порядка
в шестимерном пространстве, причем вектор
Шестимерное пространство точек в физике называют фазовым, а кривую Фазовое пространство – это пространство состояний движения точки по кривой. Первые три координаты Приведенная терминология дает так называемую кинетическую интерпретацию системы уравнений. Систему (3), или, что то же самое, (4) называют динамической системой. Для выделения одной траектории необходимо задать начальные условия: Таким образом, физические задачи приводят нас к необходимости рассмотрения систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений первого порядка вида
где Нас будут интересовать решения
где Систему (5) (решенную относительно производных искомых функций!) называют нормальной (см. § 1.12, 1.13). Если функции
Если ввести векторы в то систему (5) можно записать в виде
а начальные условия (6)- в форме
Автономную систему можно записать так:
Автономную систему можно интерпретировать следующим образом. В каждой точке
Этим определено на указанном множестве поле векторов. Решение Пространство размеренности n точек Траектории Вопрос существования решения нормальной системы был рассмотрен в § 1.12.
|