§ 1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений.Система
где коэффициенты Для сокращения записи систем удобно пользоваться векторно-матричными обозначениями. Введем матрицу коэффициентов системы (1) и искомую систему функций запишем в виде одностолбцовой матрицы
Введем некоторые общие понятия, касающиеся матриц. Пусть пока Если функции
Легко проверить следующие свойства: 1) Если 2) Если матрицы
3) Если для матриц
4) Пусть
где
Аналогично можно ввести понятие интеграла от матрицы, а именно, это есть матрица, элементы которой суть интегралы от элементов исходной матрицы:
Данное понятие обладает свойствами, сходными с обычными свойствами интегралов от функций. Мы отметим лишь одно свойство – аналог формулы Ньютона-Лейбница: если
Согласно правилу умножения матриц систему (1) можно записать так:
Напомним, что под равенством матриц понимается равенство их соответствующих элементов. Отметим очевидные свойства. Если вектор-функции
То их сумма тоже удовлетворяет системе (1’):
Кроме того, если
Из этих свойств по индукции следует, что если
- решения системы (1’) и
есть решение (1’). Важно отметить, что если система (4) решений линейно независима, то формула (5) выражает общее решение системы (1’), иначе говоря, в формуле (5) при различных постоянных Доказательство этого утверждения можно провести как в случае линейного уравнения Система (4) вектор-функций называется линейно независимой на
следует, что Так как векторное уравнение (6) эквивалентно n скалярным равенствам
то из того, что определитель
не равен нулю хотя бы для некоторого значения Определитель Если система векторов (4) линейно независима на Таким образом, условие Итак, для того, чтобы получить общее решение однородной системы (1), надо найти n линейно независимых решений (4) системы (1). Сумма (5), где Отметим, что решения Систему из n линейно независимых на Эту систему можно характеризовать квадратной матрицей
которая называется фундаментальной матрицей системы (1). Таким образом, в фундаментальной матрице решения (4) располагаются по столбцам. Обратим внимание, что в записи Покажем, что фундаментальная матрица
Так как функции
Следовательно, согласно правилу умножения матриц (в данном случае квадратных), имеем
что и требовалось доказать. Обратно, если матрица представляют решения линейной однородной системы (1). Если при этом
то матрица В самом деле
где
т.е.
Если
где Полагая в тождестве (9)
Отсюда
Следовательно,
Матрица носит название матрицы Коши. С помощью этой матрицы решение системы (1) можно записать так:
В частности, если фундаментальная матрица
Существование такой нормированной матрицы вытекает из теоремы 2 § 1.13.
|