§ 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.Система уравнений
или
где Общее решение системы (1) равно сумме
какого-либо ее частного решения
В самом деле, сумма (2) при любых постоянных
А с другой стороны, если
но тогда для некоторых постоянных
Если известно общее решение однородной системы (3), то частное решение неоднородной системы (1) можно находить методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Пусть - общее решение системы (3), т.е.
Будем считать
была частным решением неоднородной системы (1). Дифференцируя, имеем
Подставляя значения
или
Так, как
с непрерывными на Система (5) является линейной относительно Интегрируя, находим
Подставляя эти значения в (4), получаем частное решение системы (1). Пример 1. Решить систему Легко проверить, что является общим решением однородной системы. Найдем частное решение неоднородной системы методом Лагранжа. Будем считать Тогда Подставляя эти значения производных и сами функции в нашу систему, получаем Определитель данной системы есть определитель Вронского
Поэтому система разрешима:
Интегрируя, получаем
Таким образом, частное решение имеет вид
Общее решение можно записать в форме
В векторной (матричной) форме это выглядит так:
Ниже на примерах будет показано, как можно найти частное решение системы (1), когда Частное решение линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда правые части Пример 2. Решить систему Сначала решаем однородную систему. Характеристическое уравнение имеет корни
Свободным членам системы Подставляя эти функции в нашу систему, находим Общее решение неоднородной системы запишется:
|