§ 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
В этом параграфе рассматривается два примера решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с помощью степенных рядов. Коэффициентами их являются некоторые многочлены.
Второй пример посвящен важному в математике и ее приложениях дифференциальному уравнению Бесселя. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они, как мы увидим, разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.
Пример 1.
.
В данном случае
, т.е. является многочленом первой степени относительно
. Будем искать решения в виде ряда
. (1)
В силу начального условия
получаем, что
. Из условия
, получаем
. Дифференцируя формально данный ряд почленно два раза и подставляя в уравнение, получаем
. (2)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
в левой и правой частях (2), получим:
, откуда 
, откуда 
, откуда 
, откуда 

, откуда 

Так как у нас
, то все коэффициенты
.
Далее
.
Итак,
. (3)
По признаку Даламбера радиус сходимости этого ряда равен бесконечности. Следовательно, все наши операции были законными и сумма ряда при всех значениях
является решением уравнения.
Пример 2. Уравнение Бесселя:
. (4)
К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.
Будем искать частное решение (4) в виде обобщенного степенного ряда
. (5)
Дифференцируя (5) два раза почленно и подставляя в (4), получим
,
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
, получаем
(6)
Коэффициент
при низшей степени
будем считать отличным от нуля, тогда первое уравнение в (6) дает
.
Пусть пока
. Тогда из второго уравнения (6) получаем
, т.е.
, а, следовательно, и все коэффициенты с нечетными номерами равны нулю
. Далее
(7)
При
(
- не целое) таким же образом получаем
.
Таким образом, при
решение уравнения (4) запишется так:
. (8)
Введем функцию (см. ниже § 2.15, пример 3)
,
называемую гамма-функцией Эйлера. Легко проверить, что
и что для целых
,
.
Для отрицательных
,
определяется по-другому, но свойство
сохраняется. Если выбрать произвольное постоянное
, то (8) запишется
. (9)
При
(
- не целое), выбирая постоянное
, аналогично получим
. (10)
Функции
и
называются функциями Бесселя первого рода порядка
и
соответственно.
Ряд (9) сходится для всех
, а ряд (10)
и оба они допускают двукратное почленное дифференцирование, следовательно,
и
- решения уравнения Бесселя (4).
Если
- не целое число, то функции
и
линейно независимы, так как их ряды начинаются с различных степеней
и линейная комбинация

только при
. Поэтому общее решение (4) в этом случае имеет вид
.
Интересно отметить, что при
(
- целое число) функция
выражается через элементарные функции. Например, при
имеем
.
Но

.
(см. пример 3 § 2.13).
Таким образом,

.
Если
- целое число, то можно показать, что
,
т.е. эти функции оказывается линейно зависимыми
при отрицательных целых
и
обращается в бесконечность. Поэтому за второе линейно независимое решение надо брать какую то другую функцию. Обычно берут функцию Бесселя второго рода
. Эта функция является некоторой комбинацией функций
и
:


(
- не целое и стремится к
).
Замечание 1. Таким образом, общее решение уравнения (4) при
натуральном имеет вид
,
где
- произвольные постоянные. Заметим, что функция
не ограничена в окрестности
. Например,
,
где
- постоянная Эйлера
.
Поэтому любое решение уравнения (4), ограниченное в окрестности
, имеет вид
, т.е. для него
.
Приведем графики функций Бесселя (рис.17)
(четной) и
(нечетной).