ГЛАВА 2 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2.1. Введение
Пусть в трехмерном пространстве, в котором определена прямоугольная система координат
, задана непрерывная поверхность
,
где
есть ограниченное (двумерное) множество, для которого возможно определить понятие его площади (двумерной меры, см. ниже § 2.2). В качестве
может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Будем считать, что функция
положительная, и поставим задачу: требуется определить объем тела, ограниченного сверху нашей поверхностью, снизу плоскостью
и с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через границу у плоского множества
, с образующей параллельной оси
.
Искомый объем естественно определить следующим образом. Разделим
на конечное число частей
, (1)
перекрывающихся между собой разве что по своим границам. Однако эти части должны быть такими, чтобы можно было определить их площади (двумерные меры), которые мы обозначим соответственно через
.
Введем понятие диаметра множества
- это есть точная верхняя грань
.
В каждой части
выберем по произвольной точке
и составим сумму
, (2)
которую естественно считать приближенным выражением искомого объема
. Надо думать, что приближение
будет тем более точным, чем меньшими будут диаметры
частей
. Поэтому естественно объем нашего тела определить как предел суммы (2)
, (3)
когда максимальный диаметр частичных множеств разбиения (1) стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует и равен одному и тому же числу независимо от способа последовательного разбиения
.
Можно отвлечься от задачи о нахождении объема тела и смотреть на выражение (3) как на некоторую операцию, которая производится над функцией
, определенной на
. Эта операция называется операцией двойного интегрирования по Риману функции
на множестве
, а ее результат - определенным двойным интегралом (Римана) от
на
, обозначаемым так:
.
Пусть теперь в трехмерном пространстве, где определена прямоугольная система координат
, задано тело
(множество) с неравномерно распределенной в нем массой с плотностью распределения
. Требуется определить общую массу тела
. Чтобы решить эту задачу, естественно произвести разбиение
на части
, объемы (трехмерные меры) которых (в предположении, что они существуют) пусть будут
, выбрать произвольным образом в каждой части по точке
и считать, что искомая масса равна
. (4)
Снова на выражение (4) можно смотреть как на определенную операцию над функцией
, заданной теперь на трехмерном множестве
. Эта операция на этот раз называется операцией тройного интегрирования (по Риману), а результат ее - определенным тройным интегралом (Римана), обозначаемым так:
.
В этом же духе определяется понятие
-кратного интеграла Римана.
Мы увидим, что часть теории кратного интегрирования, содержащая теоремы существования и теоремы об аддитивных свойствах интеграла, может быть изложена совершенно аналогично как в одномерном, так и в
-мерном случае. Однако в теории кратных интегралов возникают трудности, которых не было у нас при изложении теории однократных интегралов.

Рис.26 Рис.27
Дело в том, что однократный интеграл Римана мы определили для очень простого множества - отрезка
, который дробился снова на отрезки. Никаких трудностей в определении длины (одномерной меры) отрезков не возникало. Между тем в случае двойных и вообще
-кратных интегралов область интегрирования
приходится делить на части с криволинейными границами, и возникает вопрос об общем определении понятия площади или вообще
- мерной меры этих частей.
В двумерном случае мы будем иметь дело с ограниченными областями, имеющими гладкую границу (рис. 26) или кусочно-гладкую границу (рис. 27), т. е. состоящую из конечного числа гладких кусков (линий).
Эти области в свою очередь приходится делить на части, имеющие кусочно-гладкую границу.
Каждой такой области
и некоторым другим множествам можно привести в соответствие положительное число
, называемое площадью или двумерной мерой Жордана (общее определение двумерной меры Жордана дано в § 2.2).
При этом выполняются свойства:
1) Если
- прямоугольник с основанием
и высотой
, то
.
2) Если
и
имеют меры
, то
.
3) Если область
разрезана при помощи кусочно-гладкой кривой на две части
и
, то
.
Существуют множества двумерной меры нуль такие, как точка, отрезок, гладкая или кусочно-гладкая кривая.
В трехмерном случае нас будут интересовать области, имеющие в качестве своей границы кусочно-гладкие поверхности. Про такие области будем говорить, что они имеют кусочно-гладкую границу. Шар, эллипсоид, куб могут служить примерами таких областей.
Поверхность называется гладкой, если в любой ее точке к ней можно провести касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся вместе с этой точкой. Поверхность называется кусочно-гладкой, если ее можно разрезать на конечное число гладких кусков. По линиям разрезов касательные плоскости к поверхности могут и не существовать.
Для трехмерных ограниченных областей
с кусочно-гладкими границами можно определить их объем (трехмерную меру), т. е. положительное число
, удовлетворяющее свойствам:
1) Если
- прямоугольный параллелепипед с ребрами
, то
.
2) Если,
и
имеют меры
, то
.
3) Если область
разрезана при помощи кусочно-гладкой поверхности на части
и
, то
.
Есть множества трехмерной меры нуль. Такими являются точка, отрезок, прямоугольник (плоский), гладкая или кусочно-гладкая поверхность.
По аналогии можно рассматривать
-мерные области
с кусочно-гладкой границей и для них определить
-мерную меру -
, обладающую свойствами, подобными свойствам 1), 2), 3).
Прямоугольник
в
определяется как множество точек
, координаты которых удовлетворяют неравенствам
.
Мера (
-мерная)
определяется как произведение:
.
Примером гладкой поверхности
может быть множество точек
, удовлетворяющих уравнению
,
где
может иметь одно из значений
. При этом
есть непрерывно дифференцируемая функция на замыкании некоторой
-мерной ограниченной области
точек
.
Кусочно-гладкая поверхность в
по определению состоит из конечного числа гладких кусков (поверхностей), пересекающихся между собой разве что по их краям.
Повторим определение кратного интеграла, не прибегая к задачам геометрического или физического содержания.
Пусть в
-мерном пространстве
задана ограниченная область
с кусочно-гладкой границей
и на
(или
) задана функция
.
Разрежем
на части
, пересекающиеся разве что по своим границам, которые будем считать кусочно-гладкими. Для краткости будем говорить, что мы произвели разбиение
множества
.
Выберем в каждой части
по произвольной точке
и составим сумму
,
которую будем называть интегральной суммой Римана функции
отвечающей разбиению
. Предел суммы
, (5)
когда максимальный диаметр частичных множеств
стремится к нулю, называется кратным интегралом от функции
на
(или по
).
Подчеркнем, что предел (5) называется кратным интегралом функции
, если он не зависит от выбора точек
в
и не зависит от способов разбиения
области
.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Будем ли мы вычислять предел (5) для области
или для ее замыкания
, не имеет значения. Это связано с тем, что
, где
- граница
, предположенная кусочно-гладкой. А кусочно-гладкая граница имеет
- мерную меру нуль (
, см. ниже § 2.2).
Замечание 2. Если предел (5), т.е. кратный интеграл
существует, то функция
ограничена на
. Это доказывается так же, как в случае одномерного определенного интеграла.

Рис. 28
Замечание 3. Если
, то сумма мер тех частиц
, которые непосредственно прилегают к кусочно-гладкой границе
, тоже стремится к нулю
.
Здесь двойной штрих при 
обозначает, что сумма распространена на те части
, которые прилегают к
.
Например, если область
разрезать на части при помощи квадратной сетки, как на рис. 28, то соответствующее разбиение можно записать в виде
,
где сумма
распространена на полные квадратики (попавшие в
), а сумма
- на неполные квадратики. Важно, что мера второй суммы стремится к нулю при неограниченном стремлении диаметра диагонали квадратиков сетки к нулю:
.
Замечание 4. Из предыдущих замечаний следует, что
.
Это показывает, что интеграл (5) можно определить так же, как предел суммы
,
распространенной только на такие части
разбиения, которые не прилегают к
.
Замечания 1, 2, 3, 4 мы формально не обосновываем. Впрочем, они легко вытекают из приводимого ниже § 2.2.