§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана
Ограничимся рассмотрением двумерных множеств. В плоскости зададим прямоугольную систему координат
. Зададим натуральное число
и две системы прямых
,
определяющих в плоскости прямоугольную сетку, состоящую из квадратов со стороной
. Такую сетку мы будем называть
- сеткой (рис. 29). Ясно, что при переходе от
к
каждый квадрат
- сетки (
) разрезается на четыре равных квадратика. Последние образуют уже
сетку.
В плоскости зададим произвольное ограниченное множество
и для данного
введем два множества
и
,. Первое из них
есть сумма (теоретико-множественная) квадратиков
- сетки (
), каждый из которых полностью принадлежит к
(на рис. 29 заштрихованная часть). Будем называть
внутренней фигурой множества
(определяемой данной
- сеткой). Может случиться, что
есть пустое множество, т. е. нет ни одного квадратика, который бы полностью принадлежал к
. Это имеет место, например, если
есть множество, состоящее из конечного числа точек, или если это есть кусок гладкой кривой.

Рис. 29
Второе множество
мы называем внешней фигурой множества
(определяемой данной
- сеткой). Оно есть сумма квадратиков
- сетки, каждый из которых содержит в себе хотя бы одну точку
. Очевидно,
,
и площади фигур
которые мы будем обозначать через
удовлетворяют неравенству
.
Если
- пустое множество, то считают
. Нетрудно видеть, что
,
откуда
.
Таким образом,

каковы бы ни были натуральные числа
и
.
Если зафиксировать
, то получится, что числа
при неограниченном возрастании
не убывают, оставаясь не большими числа
. Это показывает, что существует предел
.
Его называют внутренней мерой множества
и обозначают так:
.
Это вполне определенное число, не зависящее от
. Мы получили неравенство
,
где числа
монотонно не возрастают при неограниченном возрастании
. Но тогда существует предел
,
который называют внешней мерой Жордана множества
и обозначают через
.
Итак, произвольное ограниченное множество
плоскости имеет внутреннюю и внешнюю меры
и
. Это неотрицательные числа, удовлетворяющие неравенству
.
Если на самом деле имеет место равенство, то
называют измеримым по Жордану в двумерном смысле и число

называют двумерной мерой
по Жордану.
Меру Жордана мы будем называть также и просто мерой. Итак, множество
измеримо (по Жордану), если для него
. (1)
Обозначим через
границу множества
. Чтобы получить совокупность квадратиков сетки, покрывающих
или, как мы будем говорить, чтобы получить фигуру, покрывающую
(см. рис. 29), надо из фигуры
, вычесть в теоретико-множественном смысле фигуру
и замкнуть полученное множество
.
Очевидно, площадь (двумерная мера)
равна
.
Из (1) следует:
. (2)
Обратно, из равенства
, (3)
учитывая, что пределы
и
существуют, следует равенство (1), т. е. измеримость
.
Заметим, что предел (3) есть внешняя мера
, т. е.
.
Но
, поэтому и
.
Мы доказали важное утверждение: для того, чтобы множество
плоскости было измеримым по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы мера его границы равнялась нулю (
).
Ниже будет показано, что кусочно-гладкая кривая имеет, двумерную меру нуль. Но тогда область
, имеющая кусочно-гладкую границу, измерима в двумерном смысле по Жордану.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Множество
, состоящее из одной точки, имеет двумерную меру нуль
. Точка может принадлежать самое большее к четырем квадратикам
-сетки, их общая площадь стремится к нулю при
и, следовательно,
, но
, поэтому
.
Пример 2. Непрерывная кривая
(рис. 30)
имеет двумерную меру нуль
.

Рис. 30
В самом деле, вследствие равномерной непрерывности
на
для любого
найдется
такое, что
для всех
, удовлетворяющих неравенству
. Найденное
можно уменьшить, как мы хотим. Будем считать, что
. Зададим
-сетку с

и рассмотрим какой-либо столбик из квадратов сетки, содержащих в себе точки
. Его высота не превышает
(на рис. 30 при
выделенный столбик включает четыре квадратика
- сетки, содержащих точки
и
), а площадь не превышает
,
где
- длина некоторого отрезка, содержащего в себе отрезок
.
Это показывает, что общая площадь
квадратиков, покрывающих кривую
, при достаточно большом
может быть сделана меньшей наперед заданного как угодно малого положительного, и, следовательно, внешняя мера
, тем более внутренняя, равна нулю. Но тогда
.
Так как сумма конечного числа множеств, имеющих меру нуль, очевидно, имеет меру нуль, то из примера 1 следует, что двумерная мера множества, состоящего из конечного числа точек равна нулю.
А из примера 2 следует, что гладкая кривая
(4)
имеет двумерную меру нуль (рис. 31).
Дело в том, что если
- гладкая кривая, то отрезок
можно разделить на конечное число отрезков точками


Рис. 31 Рис.32
так, что на каждом частичном отрезке
одно из двух уравнений (4) можно разрешить относительно
и подставить во второе. В результате получим, что соответствующий кусок
кривой
описывается либо уравнением вида
,
либо уравнением вида

где функции
и
непрерывны на соответствующих отрезках.
Но тогда, как мы знаем из примера 2,
.
Поэтому, так как
есть сумма конечного числа кусков
.
,
каждый из которых имеет меру нуль, то
.
Отметим, что если два множества
и
измеримы, то измеримы также их сумма
, разность
и пересечение
.
В самом деле, обозначим через
границу множества
. На рис. 32 изображены два множества
и
. Очевидно,
(5)
Если
и
измеримы, то
, но тогда и меры левых частей (5) равны нулю, что показывает, что множества
и
,
,
измеримы.

Рис.33
Здесь мы воспользовались очевидным свойством меры. Если множество
имеет меру нуль, то и любое его подмножество имеет меру нуль.
Наконец, если
и
- измеримые множества, пересекающиеся разве что по своим границам, то
. (6)
В самом деле, очевидно (рис. 33)
,
и так как

то, очевидно,
,
что доказывает (6).
Отметим, что если область
измерима, то ее мера Жордана равна мере ее замыкания:
.
В самом деле,
где
- граница
и
, где
.
Пример 3. Множество
, состоящее из всех рациональных чисел отрезка
, не измеримо по Жордану:
.
В трехмерном случае теория меры Жордана аналогична. Теперь вводится прямоугольная система координат
и три семейства параллельных плоскостей

делящих пространство на кубики с ребром
.
Такое разбиение пространства мы снова называем
-сеткой (трехмерной).
Пусть
есть ограниченное множество точек, принадлежащих пространству. Обозначим через
внутреннюю фигуру множества
- совокупность кубиков сетки, полностью принадлежащих
, и через
,- внешнюю фигуру множества
- совокупность кубиков сетки, каждый из которых содержит хотя бы одну точку
.
Снова заключаем, что

откуда следует:

и
,
каковы бы ни были натуральные
и
. Отсюда вытекает существование пределов
.
Первый предел в этом неравенстве называется внутренней (трехмерной) мерой
:
,
а второй - внешней мерой
:
.
Таким образом,
.
Если
,
то множество
называют измеримым в трехмерном смысле по Жордану и число
называют его трехмерной мерой.
Рассуждениями, подобными тем, которые велись в связи с равенствами (1), (2), (3), доказывается, что множество измеримо в трехмерном смысле тогда и только тогда, когда его граница имеет трехмерную меру нуль.
Мы не будем формулировать дальнейшие свойства измеримых в трехмерном смысле множеств. Они аналогичны отмеченным выше свойствам множеств, измеримых в двумерном смысле.
Остановимся только на объяснении того, что кусочно-гладкая поверхность имеет трехмерную меру нуль. Такая поверхность состоит из конечного числа кусков
, пересекающихся разве что по своим краям, каждый из которых при соответствующем переобозначении координат определяется уравнением
,
где
- замыкание некоторой ограниченной в плоскости
области.
Зададим
и подберем
так, чтобы

для всех точек
, находящихся на расстоянии друг от друга
.
Считаем
и берем
- сетку с
. Рассматриваем какой-либо столбик из кубиков сетки, содержащих в себе точки
. Его высота не превышает
, а объем не превышает
. Общий объем всех таких столбиков, покрывающих
, не превышает
. (7)
Здесь
есть площадь квадрата
, покрывающего множество
. Правая часть (7) может быть взята как угодно малой, что доказывает, что трехмерная мера
.
Можно ввести по аналогии понятие
-мерной меры для множеств пространства
и показать, что гладкая поверхность в
имеет
-мерную меру нуль.