§ 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования
В дальнейшем
будут области с кусочно-гладкой границей (хотя их можно считать и произвольными измеримыми по Жордану множествами).
Справедливо равенство
. (1)
Это равенство очевидно. Чтобы вычислить интеграл (1), надо разрезать кусочно-гладкими поверхностями область
на части
,
пересекающиеся разве что по своим границам (рис. 34), и учесть, что

Но тогда
.

Рис.34
По формуле (1) в двумерном случае вычисляется площадь
, в трехмерном - объем
. В
-мерном же случае формула (1) дает
-мерную меру
.
Мы увидим в дальнейшем, что вычисление интеграла (1) и более общего интеграла
может быть сведено к последовательному вычислению некоторых одномерных интегралов (см. § 2.4).
Ниже мы предполагаем, что для функций
, о которых будет идти речь, рассматриваемые интегралы существуют. Мы не будем оговаривать это обстоятельство особо.
Справедливо равенство
, (2)
где
и
- константы.
Если область
с кусочно-гладкой границей разрезана на измеримые части
, то
. (3)
Если
, (4)
то
. (5)
Но тогда, учитывая, что
,
получим в силу (2) (при
), что
.
т.е.
. (6)
В частности, из (6) следует, что если
, (7)
где
- константа, то
. (8)
Справедлива теорема существования (доказательство см. § 2.5).
Теорема 1. Если функция
непрерывна на замыкании
ограниченной области
с кусочно-гладкой границей, то она интегрируема на
так же, как на
, и
. (9)
Отметим, что
,
где
- граница
. По условию
- кусочно-гладкая граница. Ее мера (
-мерная) равна нулю (
), следовательно,
.
Сформулируем более общую теорему существования.
Теорема 2. Если функция
ограничена и непрерывна на замыкании
ограниченной области
с кусочно-гладкой границей, за исключением отдельных точек и гладких кривых в конечном числе, где она может иметь разрывы, то
интегрируема на
так же, как на
, и выполняется равенство (9).
Отметим еще теорему.
Теорема 3 (о среднем). Пусть функция
непрерывна на замыкании
области
, которое мы будем предполагать связным. Тогда существует точка
такая
, что выполняется равенство
. (10)
Доказательство. По условию функция
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве
, поэтому на
существуют точки
и
, в которых
достигает соответственно своего минимума и максимума на
:
.
Интегрируя эти неравенства по
, получим

или
. (11)
Из неравенства (11) следует, что число

находится между наименьшим значением функции
и наибольшим
. В силу связности
существует принадлежащая к
непрерывная кривая
,
соединяющая точки
и
, т. е. такая, что
.
Функция

непрерывна на отрезке
(как суперпозиция непрерывных функций) и принимает на его концах значения
.
Но тогда по теореме о промежуточном значении для функции
от одного переменного, существует такое
, что в точке
имеет место равенство
,
и мы доказали (10).
Замечание. Число
, фигурирующее в (10), называется средним значением непрерывной функции
на области
.