§ 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным
Рассмотрим интеграл
, (1)
где функция
задана на прямоугольнике
, (2)
т. е. на множестве точек
, где
.
Здесь интегрирование производится по переменной
. Но подынтегральная функция зависит не только от
, но и от
, поэтому интеграл (1) есть функция
от
.
Говорят, что интеграл (1) есть функция от параметра
.
Теорема 1. Если функция
непрерывна на прямоугольнике
, то функция
непрерывна на отрезке
.
Доказательство. Имеем
.
Так как функция
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве
, то она равномерно непрерывна на
. Следовательно, для любого
найдется
такое, что

для всех
, лишь бы
. Но тогда
,
и теорема доказана.
Теорема 2. При условиях теоремы 1 существует повторный интеграл
. (3)
В самом деле, непрерывная на отрезке
функция
интегрируема на нем.
Теорема 3. При условиях теоремы 1 справедливы равенства
. (4)
Первый член цепи (4) есть кратный интеграл от непрерывной функции на замкнутом множестве
с кусочно-гладкой границей. Он существует (см. ниже § 2.5). Повторные интегралы, представляющие собой второй и третий члены цепи равенства (4), тоже существуют по теореме 2.
Данная теорема утверждает равенство этих трех интегралов. Тем самым вычисление кратного интеграла сводится к вычислению одномерных интегралов по каждой переменной
в отдельности.
Доказательство. Разделим стороны
на
равных частей:
,
,
и через точки деления проведем прямые, параллельные соответственно оси
в оси
. Этим
разделится на равные прямоугольники
:

и
(5)
Мы применили сначала к интегралу
по
от функции
теорему о среднем, а затем к интегралу
ту же теорему.
Мы доказали, что повторный интеграл в левой части (5) можно рассматривать как интегральную сумму кратного интеграла
соответствующую разбиению
на части
при некоторых точках
.
Перейдем теперь к пределу в равенстве (5) при
. Левая часть (5) при этом есть определенное (не зависящее от
) число, а правая часть стремится при
к кратному интегралу от
по
(если кратный интеграл существует, то любая интегральная сумма стремится к этому интегралу).
Поэтому
,
и мы доказали первое равенство (4). Равенство второго повторного интеграла с кратным интегралом доказывается аналогично.
Рассмотрим в плоскости
область
, ограниченную гладкими кривыми (рис. 35)

Рис. 35
,
где
.
Пусть на замыкании
области
задана произвольная непрерывная функция
. Чтобы вычислить кратный интеграл от
по области
(или, что все равно, по
), применяют следующий метод: сначала интегрируют функцию
по переменной
от
до
, считая
постоянным, а затем результат интегрируют по
: на отрезке
:
(6)
В случае, когда
есть прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, равенство (6) было выше обосновано (см. теорему 3). Теми же рассуждениями можно было бы обосновать (6) и в общем случае.
Пример 1. Вычислить площадь эллипса
.
Мы называем эллипсом множество точек
, для которых
, так же как множество точек
, для которых
. Подобную вольность мы будем позволять себе, называя эллипсоидом как множество точек
, для которых
, так и множество точек
, удовлетворяющих уравнению
.
Решение. Область
, о которой идет речь, ограничена снизу кривой

и сверху кривой
.
Искомая площадь равна

Пример 2. Вычислить площадь фигуры
, ограниченной параболой
и прямой
(рис. 36).
Имеем
.

Рис. 36
Метод вычисления кратных интегралов сведением их к одномерным применяется в пространствах любых измерений. Покажем это на примерах.
Пример З. Требуется вычислить объем
эллипсоида
.
Решим относительно
уравнение
.
Получим две непрерывные функции
.
Они определены на множестве
точек
, удовлетворяющих неравенству
.
Объем или трехмерная мера
равен кратному интегралу
.
Чтобы его вычислить, надо для любой точки
проинтегрировать единичную функцию (равную 1) по
от
до
. Результат, зависящий от
, затем надо проинтегрировать по всем
:

Последнее равенство в этой цепи следует из формулы (6). Дальнейшие вычисления требуют владения техникой интегрирования:


Далее
.
Пример 4. Найти объем части параболоида вращения
:
(рис. 37).
Так же как в примере 3, имеем
,
где
- множество точек
, удовлетворяющих неравенству
, т. е. это круг радиуса
. Далее имеем

Рис. 37

Пример 5. Найти объем тела
, ограниченного поверхностями параболоидов вращения
и цилиндрическими поверхностями
(рис. 38).
Наше тело представляет собой «параболический башмачок», который вырезают цилиндрические поверхности
и
между параболоидами вращения. Снизу башмачок ограничен куском поверхности
, а сверху куском поверхности параболоида вращения
. Проекция этого тела
на плоскость
дает множество
, состоящее из точек
, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
.

Рис. 38
Поэтому

Вернемся снова к интегралу (1), зависящему от параметра.
Теорема 4. Если функция
непрерывна и имеет непрерывную производную
на прямоугольнике
,
то функция

имеет производную на отрезке
, причем
. (7)
Доказательство. Мы должны доказать, что
. (8)
Имеем, применяя теорему Лагранжа
.
Поэтому

при
, где
зависящее от
достаточно мало. Дело в том, что функция
непрерывная на
, равномерно-непрерывная на
, т. е. для
:

для любых
.
Таким образом, равенство (8), а с ним и (7) доказано. Рассмотрим теперь более общий, чем (1) интеграл
, (9)
где
и
- непрерывные на отрезке
функции, удовлетворяющие неравенствам
,
а
непрерывна для всех точек
, удовлетворяющих неравенствам
.
Покажем, что при указанных условиях функция
непрерывна на
.
В самом деле, заменим в интеграле (9) переменную интегрирования
на другую переменную
при помощи равенства
. (10)
При
, при
(
фиксировано, и его мы считаем постоянным при замене переменной). Следовательно,
. (11)
Здесь множитель
есть непрерывная функция от
, а под знаком интеграла стоит непрерывная функция от точки
, принадлежащей прямоугольнику
. Поэтому сам интеграл - непрерывная функция на
согласно теореме 1. Функция
будет непрерывной на
, как произведение двух непрерывных функций.
Теорема 5. Если функция
непрерывна вместе со своей частной производной
, на
,
а функции
непрерывны на
, то функция (9) имеет производную, вычисляемую по формуле
. (12)
Доказательство. Введем вспомогательную функцию
,
заданную на множестве
.
Согласно теореме 4
.
Используя правило дифференцирования интеграла с переменным пределом интегрирования, имеем
.
Далее
, поэтому по правилу дифференцирования сложной функции получаем

что и требовалось доказать.
Пример 6. Найти производную от функции
.
Согласно (12) получаем
.