§ 2.6. Замена переменных. Простейший случай
Покажем, как видоизменяется интеграл
. (1)
если в нем произвести замену переменных
. (2)
Будем считать, что
- область с непрерывной кусочно-гладкой границей
(рис. 39).

Рис. 39 Рис.40
Преобразование, обратное к (2), отображает
на некоторую область
плоскости
с кусочно-гладкой границей
(рис. 40). При этом на
определена функция
.
Введем в плоскости
прямоугольную сетку со сторонами квадратов
длины
. Она отображается при помощи уравнений (2), вообще говоря, в косоугольную сетку, делящую плоскость
на равные параллелограммы
(образы
), имеющие площадь (пояснения ниже)
. (3)
Тем самым определены разбиения
соответственно областей
.
Поясним равенства (3) подробнее. Произвольный квадрат
определяется двумя векторами
, которые будем считать выходящими из левой нижней вершины
. Первый вектор (направленный отрезок) совпадает с основанием
, а второй - с вертикальной стороной
. Преобразование (2) отражает эти векторы соответственно в векторы
- стороны параллелограмма
. Площадь
, как мы знаем, равна
.
Имеем
(4)
Мы считаем, что вторая сумма в этой цепи распространена только на полные квадраты
, соответственно – первая – на соответствующие им полные параллелограммы
(см. замечание 4 § 2.1). Переходя к пределу в (4) при
, получим формулу
. (5)
В этом рассуждении можно считать, что функция
непрерывна на
и тогда функция
будет непрерывной на
. Но этот результат остается верным и в случае, когда
ограничена на
и непрерывна всюду на
, исключая отдельные точки или кусочно-гладкие линии.
В следующем параграфе дается общая формула замены переменных в кратных интегралах.