§ 2.7. Замена переменных. Общий случай
Ограничимся сначала двумерным случаем. Зададим две функции
, (1)
имеющие непрерывные производные на замыкании
ограниченной области с кусочно-гладкой границей. Будем считать, что преобразование (1) отображает
на некоторую область
с кусочно-гладкой границей взаимно однозначно.
Зададим функцию
, непрерывную на
либо ограниченную на
и непрерывную всюду, исключая отдельные точки и кусочно-гладкие линии.
При этих условиях формула (5) § 2.6 замены переменных в кратном интеграле сохраняется, но роль определителя
теперь уже играет определитель Якоби

. (2)
Определитель
, о котором шла речь в § 2.6, тоже можно рассматривать как якобиан линейной системы
.
В трехмерном случае формула замены переменных в кратном интеграле выглядит следующим образом:
, (3)
где
, (4)
- непрерывно дифференцируемые функции на замыкании
области
с кусочно-гладкой границей и
.
При этом предполагается, что область
отображается на
при помощи (4) взаимно однозначно. По-прежнему предполагается, что
непрерывна на
или ограничена на
и непрерывна на
исключая конечное число точек, кусочно-гладких линий и кусочно-гладких поверхностей.

Рис.41 Рис.42

Рис. 43 Рис. 44
На рис. 41, 42 изображены области
и
в плоскостях, соответственно
и
. Прямоугольная сетка, делящая плоскость
на квадраты
со стороной длины
, переходит в криволинейную сетку, делящую
на криволинейные параллелограммы
.
Рассмотрим произвольный квадрат
(рис. 43). Он отображается при помощи преобразований (1) на криволинейный параллелограмм
(рис. 44). Из вершины
, имеющей координаты
выпущены векторы, касательные к сторонам»
:

( угловой коэффициент касательной к кривой
при фиксированном
равен
). Эти векторы заменяют соответствующие «стороны» с точностью до бесконечно порядка (при
). Параллелограмм
, построенный на этих векторах, имеет точно вычисляемую площадь
.
Можно аккуратно показать, что площадь (двумерная мера) криволинейного параллелограмма
имеет вид
,
где величина
стремится к нулю при
и притом равномерно для всех квадратиков
. Для каждого квадрата
величина
зависит от
и стремится к нулю
. Равномерность стремления проявляется в том, что для любого
можно указать такое
, что
.
Рассмотрим интегральную сумму функций
, соответствующую разбиению
, как на рис. 42. При этом мы берем сумму по «полным»
, т.е. таким, которые соответствуют квадратам
, полностью принадлежащим к
. Тогда

Здесь
- произвольная точка, принадлежащая к
, а
- соответствующая ей при помощи (1) точка, очевидно, принадлежащая к
. Знак
, обозначает, что сумма распространена на полные квадраты
. Далее
,
откуда видно, что
.
Итак, формула (2) доказана.