§ 2.9. Полярная система координат в пространстве
Система уравнений
(1)
осуществляет переход от полярных (сферических) координат в пространстве к декартовым (рис. 50). Здесь
- расстояние точки
до начала координат (полюса полярной системы),
- угол между радиус-вектором
точки
и его проекции на плоскость
- угол между указанной проекцией и положительным направлением оси
. Его отсчитывают в том направлении, в котором надо вращать вокруг оси
ось
, чтобы прийти к оси
кратчайшим путем. Можно считать, что
и
.
Функции справа в (1) непрерывно дифференцируемы с якобианом
. (2)

Рис. 50 Рис.51
Пусть
есть поверхность, описываемая в полярных координатах функцией
, непрерывной на замыкании области
и пусть
- трехмерная область пространства
, ограниченная поверхностью
и конической поверхностью, лучи которой выходят из нулевой точки и опираются на край
(рис. 51). Тогда для непрерывной на
функции
имеет место равенство
, (3)
где
.
Мы воспользовались общей формулой (3) § 2.7, учитывая равенство (1) и (2). В данном случае
, поэтому
.
Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных координатах, рассечем пространство на малые части концентрическими шаровыми поверхностями с центром в полярном полюсе (точке
), плоскостями, проходящими через ось
, и коническими поверхностями, определяемыми углами
и
(рис. 52), имеющими своей осью ось
. Легко видеть, что полученные при этом малые ячейки можно считать приближенно прямоугольными параллелепипедами с ребрами
, поэтому их объем, с точностью до бесконечно малых высшего порядка,
,
где
- одна из точек ячейки.

Рис. 52
Пример. Вычислить тройной интеграл
,
где
- область точек с положительными координатами, ограниченная поверхностями
.
Введем полярные (сферические) координаты по формулам (1), тогда для области
. Согласно формуле (3) имеем
