§ 2.10. Цилиндрические координаты
Зададим в трехмерном пространстве прямоугольную систему координат
. Произвольная точка
пространства определяется также тройкой чисел
, где
- по-прежнему ее аппликата, а
- полярные координаты точки
плоскости
в предположении, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси
(рис. 53).

Рис. 53
Очевидно,
(1)
Якобиан этого преобразования
. (2)
Формула замены переменных в этом случае записывается так:
.
Чтобы наглядно получить элемент объема в цилиндрических координатах, рассечем пространство концентрическими цилиндрическими круговыми поверхностями, имеющими осью ось
, плоскостями, проходящими через ось
, и плоскостями, параллельными плоскости
(рис. 54). Элемент пространства, ограниченный этими поверхностями, с точностью до малых высшего порядка, представляет собой прямоугольный параллелепипед с ребрами
. Его объем равен
.

Рис. 54 Рис.55
Пример. Найти объем тела
, ограниченного поверхностями
(рис.55).
Как нам известно,
.
Вводя цилиндрические координаты (1) получаем
.