§ 2.12. Координаты центра масс
В пространстве, где введена прямоугольная система координат, пусть задана материальная точка
с массой
. Статическим моментом этой точки относительно плоскости
называется произведение
, и обозначается символом
.
Статический момент относительно плоскости
конечной системы материальных точек
с массами
определяется равенством
.
Наконец, если масса распределена по некоторому множеству
, то статический момент тела
относительно плоскости
определяется как интеграл,
,
где
- плотность распределения массы.
Центр тяжести
тела
имеет координаты
определяемые равенствами
.
В частности, если
и
есть криволинейная трапеция в плоскости
ограниченная сверху графиком функции
и снизу осью
, равномерно заполненная массами с плотностью
, то (рис.57)
.

Рис. 57
Ведь
.
Отсюда
. (1)
В правой части (1) стоит объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции
около оси
.
Таким образом, мы получили известную теорему Гюльдина: объем тела вращения криволинейной трапеции
равен ее площади, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс (тяжести) этой трапеции около оси
.
Если
есть однородная
кривая
, то
,
где
- длина кривой в пределах
- элемент длины дуги. Так как
, то

или
. (2)
В правой части (2) стоит площадь поверхности вращения кривой
около оси
. Таким образом, равенство (2) дает другую теорему Гюльдина: площадь поверхности вращения кривой
, равна длине ее дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс этой дуги около оси
.
Теоремы Гюльдина позволяют по двум известным величинам находить третью. Например, если известны координаты центра тяжести и объем тела вращения, то можно определить площадь криволинейной трапеции и т. д.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести криволинейной трапеции
(рис. 58).

Рис. 58
Пусть
- центр тяжести. В силу симметрии ясно, что
(мы считаем
). Найдем площадь трапеции
:
.
Объем тела, полученного от вращения
около оси
равен
.
На основании первой теоремы Гюльдина
.
Пример 2. Найти объем тела, полученного от вращения круга
с центром в точке
, радиуса
, около оси
(рис. 59).
Ясно, что центр тяжести круга (однородного) совпадает с его геометрическим центром, т. е.
. Площадь круга
. Поэтому по первой теореме Гюльдина
.
Пример 3. Найти площадь поверхности тела вращения, рассмотренного в примере 2.
Данную поверхность можно рассматривать как поверхность, полученную от вращения окружности
около оси
. Длина этой окружности равна
. Поэтому по второй теореме Гюльдина

(центр тяжести однородной окружности также совпадает с центром
этой окружности).

Рис.59 Рис.60
Пример 4. Найти центр тяжести однородного
полукруга
; полуокружности
.
Известно, что объем шара радиуса
равен
, а площадь поверхности шара равна
. По формуле (1) получаем (рис. 60)
,
где
- ордината центра тяжести полукруга.
По формуле (2) для ординаты
центра тяжести полуокружности имеем
.
Моменты. Моментом
-го порядка
материальной точки
с массой
относительно плоскости
называется произведение
,
Если массы распределены по измеримому множеству
с плотностью
, то
.
Если
, то соответствующий момент второго порядка называется моментом инерции.
Кроме того, можно рассматривать моменты
-го порядка тела
относительно начала координат
;
относительно оси
. Например, момент
-го порядка относительно оси
запишется
.