§ 2.13. Несобственные интегралы
Пусть функция
задана в замкнутой области
. Точка
называется особой точкой функции, если в любой
- окрестности точки
функция неограниченна. Пусть (рис. 61)
, где
— открытый шар радиуса
с центром в точке
.
Если функция
имеет единственную особую точку
на области
и непрерывна на области
при
, то несобственным интегралом функции
на
называется предел (если он существует)
. (1)
Говорят, что в случае существования конечного предела (1) несобственный интеграл сходится, а если предел (1) не существует или равен бесконечности, то расходится.
Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
(2)
от абсолютной величины
.

Рис. 61
Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом деле, из абсолютной сходимости интеграла (2) следует, что предел
существует и конечен. Но тогда, применяя к этому пределу признак Коши (относительно функции от одного переменного
), получим, что для любого
найдется
такое, что
.
Итак, для любого
найдется
, так что для всех положительных
, удовлетворяющих неравенствам
, имеет место
.
А это показывает, согласно критерию Коши, что существует предел (1), т. е. существует несобственный интеграл (1).
Пример 1. Исследовать сходимость интеграла
, (3)
где
- единичный шар
.
Решение. Функция
имеет единственную особую точку
. Поэтому, переходя к полярным координатам, получим

Мы доказали, что интеграл (3) сходится при
. Если
, то интеграл (3) расходится. При
интеграл (3) также расходится (при вычислении интеграла по
первообразная равна
).
Замечание 1. В
-мерном пространстве, т. е. когда
, интеграл (3) сходится при
и расходится при
.
Если область
неограниченна и функция
непрерывна на области
при любом
(рис. 62), то несобственным интегралом по неограниченной области
называется число, равное пределу
. (4)

Рис.62 Рис.63
Пример 2. Интеграл
, где
, сходится при
и расходится при
.
Проводя вычисления как в примере 1, получаем

При 
.
Замечание 2 . В
-мерном пространстве интеграл
,
сходится при
и расходится при
.
Пример З. Исследовать интеграл
.
По определению имеем
,
где
- четверть круга радиуса
(рис. 63). Переходя к полярным координатам
,
,
имеем

Таким образом,
.
С другой стороны, этот интеграл равен
,
где несобственный интеграл от одной переменной справа (интеграл Пуассона) сходится. Поэтому мы получаем
.
Пример 4. Вычислить интеграл
.
Интегрируя два раза по частям, имеем

Переходя к пределу при
, будем иметь
